Ακολουθίες

Ακολουθία είναι μια συνάρτηση που έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών. Μια ακολουθία μπορεί να είναι είτε άπειρη, αν το πεδίο ορισμού της είναι ολόκληρο το σύνολο των φυσικών αριθμών, είτε πεπερασμένη, αν το πεδίο ορισμού της είναι μόνο ένα πεπερασμένο υποσύνολο των φυσικών αριθμών. Αν δεν λέγεται ρητά ότι πρόκειται για πεπερασμένη ακολουθία, εννοείται άπειρη ακολουθία.

Ορισμός της ακολουθίας

Αυτή η ενότητα περιγράφει έστω και λίγο τη σημασία του ορισμού της ακολουθίας, δεν είναι απολύτως απαραίτητο να τον ξέρεις, μπορείς να παραλείψεις ολόκληρη την ενότητα, αν θέλεις.

Η εισαγωγή αποκάλυψε ήδη ότι πρόκειται για συνάρτηση που έχει ως πεδίο ορισμού τους φυσικούς αριθμούς. Σύνολο τιμών μπορεί να είναι οποιοδήποτε σύνολο, αλλά εδώ θα υποθέτουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Τι σημαίνει αυτό; Η πιο ορατή αλλαγή θα γίνει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, γιατί δεν θα είναι συνεχής γραμμή, όπως συνήθως συμβαίνει στις κοινές συναρτήσεις, αλλά θα υπάρχουν μόνο διάσπαρτα μεμονωμένα σημεία της ακολουθίας.

Ακολουθία μπορεί να είναι για παράδειγμα η σειρά αριθμών 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Αυτή είναι μάλλον μια αρκετά σαφώς ορισμένη ακολουθία και καθένας πρέπει να καταλαβαίνει πώς συνεχίζεται. Επειδή πρόκειται για συνάρτηση, ο πίνακας αντιστοίχισης αυτής της ακολουθίας θα έμοιαζε ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Οι αριθμοί της πρώτης στήλης (τιμές από το πεδίο ορισμού) δείχνουν λοιπόν τη θέση του δοσμένου αριθμού στην ακολουθία. Για παράδειγμα στην απλή ακολουθία μας ο αριθμός πέντε βρίσκεται στην τρίτη θέση. Αυτό μας λέει ακριβώς και ο πίνακας. Στην τέταρτη θέση της ακολουθίας βρίσκεται ο αριθμός επτά, στην πρώτη το ένα και ούτω καθεξής. Από αυτό προκύπτει επίσης ότι το πεδίο ορισμού μιας πεπερασμένης ακολουθίας p πρέπει να είναι κάποιο σύνολο της μορφής

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,\nu \},$$

ώστε να πρόκειται πραγματικά για σειρά και καμία θέση να μην παραλείπεται. Για παράδειγμα αυτό το σύνολο

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

δεν ταιριάζει ως πεδίο ορισμού ακολουθίας, γιατί του λείπουν το τέταρτο και το έκτο στοιχείο.

Η ακολουθία χαρακτηρίζεται λοιπόν από το ότι τα στοιχεία της μπορούν με κάποιον τρόπο να διαταχθούν, ότι κάθε στοιχείο της ακολουθίας, εκτός από το πρώτο και το τελευταίο, έχει τον προηγούμενό του και τον επόμενό του. Αυτό είναι τεράστια διαφορά σε σχέση με τις πραγματικές συναρτήσεις, όπου τίποτα τέτοιο δεν ισχύει. Αν πάρουμε τη συνάρτηση f(x) = 2x, ποια τιμή ακολουθεί μετά το f(5/2); Δεν ξέρουμε, το αποτέλεσμα είναι πραγματικός αριθμός και οι πραγματικοί αριθμοί δεν έχουν επόμενο.

Συμβολισμός της ακολουθίας

Ξέρουμε ήδη ότι – με απλά λόγια – η ακολουθία είναι μια αριθμημένη σειρά αριθμών. Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε να γράψουμε μια ακολουθία. Την ίδια την ακολουθία συνήθως τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα με κάτω δείκτη, για παράδειγμα α_ν.

Ο πρώτος τρόπος είναι η απαρίθμηση όλων των τιμών της ακολουθίας. Με αυτόν έχουμε ήδη συναντηθεί στην προηγούμενη ενότητα. Η απαρίθμηση μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη:

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_{\kappa }& =& (1,2,3,4,5)\\ {\alpha }_{\nu }& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Σημείωση: δεν είμαι σίγουρος ποιες παρενθέσεις χρησιμοποιούνται συνήθως για τις ακολουθίες, δεν βρήκα ενιαία σύμβαση. Μάλλον δεν θα χρησιμοποιούσα άγκιστρα, γιατί αυτά δηλώνουν σύνολα, στα οποία η σειρά δεν παίζει ρόλο, ενώ στις ακολουθίες η σειρά των όρων παίζει ρόλο.

Η δεύτερη δυνατότητα είναι ο τύπος για τον ν-οστό όρο της ακολουθίας. Για παράδειγμα η ακολουθία α_ν περιείχε όλους τους άρτιους αριθμούς. Αυτό θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε με τον τύπο

$${\alpha }_{\nu }=2\nu .$$

Ο κάτω δείκτης ν μας καθορίζει ποιον όρο της ακολουθίας υπολογίζουμε κάθε φορά. Αν λοιπόν θέλουμε να ξέρουμε τον πρώτο όρο, θέλουμε να ξέρουμε τον όρο α₁, αν τον έβδομο, τον α₇. Τον έβδομο όρο θα τον υπολογίζαμε αντικαθιστώντας στον τύπο.

$${\alpha }_7=2\cdot 7=14$$

Αυτός ο συμβολισμός είναι βολικός, γιατί επιτρέπει να υπολογίσουμε αμέσως οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Άλλη δυνατότητα είναι ο συμβολισμός με αναδρομικό ορισμό. Ο αναδρομικός ορισμός μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον επόμενο όρο, αν ξέρουμε τον τρέχοντα. Δηλαδή αν ξέρουμε τον όρο α_ν, μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον όρο α_{ν + 1}.

Αν θέλουμε να δώσουμε μια ακολουθία αναδρομικά, πρέπει να δώσουμε δύο πληροφορίες: ποιος είναι ο πρώτος όρος και ο τύπος για τον υπολογισμό του (ν + 1)-οστού όρου. Αν θέλαμε να δώσουμε αναδρομικά την ακολουθία των άρτιων φυσικών αριθμών, θα μπορούσαμε να το κάνουμε ως εξής:

$${\alpha }_1=2;{\alpha }_{\nu +1}={\alpha }_{\nu }+2$$

Πώς θα υπολογίζαμε τώρα; Ξέρουμε ότι το α₁ είναι ίσο με δύο. Τώρα αντικαθιστούμε στη θέση του ν το ένα και έτσι το α₂ το υπολογίζουμε προσθέτοντας στο α₁ το δύο. Παίρνουμε τέσσερα, τον δεύτερο άρτιο αριθμό. Και ούτω καθεξής.

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& 2\\ {\alpha }_2& =& {\alpha }_1+2(=4)\\ {\alpha }_3& =& {\alpha }_2+2(=6)\\ {\alpha }_4& =& {\alpha }_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Ο συμβολισμός με αναδρομικό ορισμό ταιριάζει όταν χρειάζεται να παραγάγουμε κάποιο μεγαλύτερο τμήμα της ακολουθίας. Αντίθετα δεν ταιριάζει όταν θέλουμε να υπολογίσουμε κάποιον συγκεκριμένο όρο, γιατί για να υπολογίσουμε τον εκατοστό άρτιο αριθμό, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε και τους 99 άρτιους αριθμούς που προηγούνται του εκατοστού.

Τελευταία δυνατότητα είναι να δώσουμε την ακολουθία με γραφική παράσταση.

Για να είναι σαφές: μια ακολουθία δεν χρειάζεται απαραίτητα να έχει κάποιον απλό τύπο, δεν χρειάζεται να είναι «λογική» σειρά αριθμών. Και αυτή η σειρά αριθμών είναι ακολουθία, παρόλο που με την πρώτη ματιά δεν έχει κανένα βαθύτερο νόημα:

$${\alpha }_{\nu }=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Γραφική παράσταση ακολουθίας

Οι ακολουθίες έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις από τις κοινές πραγματικές συναρτήσεις. Επειδή έχουν ως πεδίο ορισμού τους φυσικούς αριθμούς, η γραφική τους παράσταση αποτελείται από μεμονωμένα σημεία.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ακολουθία όπου ανάμεσα στους διαδοχικούς όρους υπάρχει σταθερή διαφορά. Κάθε επόμενος όρος είναι για παράδειγμα μεγαλύτερος κατά τρία ή μικρότερος κατά δεκαεπτά. Η διαφορά κατά την οποία διαφέρουν οι όροι της ακολουθίας ονομάζεται διαφορά της προόδου (τη συμβολίζουμε ω). Στην πρώτη περίπτωση η διαφορά θα ήταν τρία, στη δεύτερη μείον δεκαεπτά και στην περίπτωση της ακολουθίας των άρτιων αριθμών θα ήταν δύο. Με τύπο μια αριθμητική πρόοδος θα μπορούσε λοιπόν να γραφτεί ως εξής:

$${\alpha }_{\nu +1}={\alpha }_{\nu }+\omega$$

Ο γενικός τύπος για τον υπολογισμό του ν-οστού όρου αριθμητικής προόδου είναι τότε

$${\alpha }_{\nu }={\alpha }_1+(\nu -1)\omega .$$

Για παράδειγμα παίρνουμε πάλι τους άρτιους αριθμούς, όπου η διαφορά είναι δύο και ο πρώτος άρτιος αριθμός είναι επίσης το δύο. Τότε τον δεύτερο άρτιο αριθμό τον παίρνουμε προσθέτοντας στον πρώτο το δύο. Αν προσθέσουμε άλλη μία φορά το δύο, παίρνουμε τον τρίτο άρτιο αριθμό.

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& 2\\ {\alpha }_2& =& {\alpha }_1+2(=4)\\ {\alpha }_3& =& {\alpha }_2+2(=6)\\ {\alpha }_4& =& {\alpha }_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Αν θέλαμε να υπολογίσουμε για παράδειγμα τον έβδομο άρτιο αριθμό, θα αντικαθιστούσαμε στον γενικό τύπο ως εξής:

$${\alpha }_{\nu }={\alpha }_1+(\nu -1)\omega \to {\alpha }_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Πώς θα βρούμε αν μια δοσμένη ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος; Αφαιρούμε τον τύπο για τον ν-οστό όρο από τον τύπο για τον (ν + 1)-οστό όρο και αν πάρουμε τη διαφορά, πρόκειται για αριθμητική πρόοδο. Έστω για παράδειγμα η ακολουθία

$${\alpha }_{\nu }=2\nu +7.$$

Είναι αυτή η ακολουθία αριθμητική πρόοδος; Ξεκινάμε εκφράζοντας τον (ν + 1)-οστό όρο:

$${\alpha }_{\nu +1}=2(\nu +1)+7.$$

Τώρα αφαιρούμε αυτές τις δύο παραστάσεις μεταξύ τους:

$$\begin{array}{rcl}\omega & =& (2(\nu +1)+7)-(2\nu +7)\\ \omega & =& 2\nu +2+7-2\nu -7\\ \omega & =& 2\nu -2\nu +7-7+2\\ \omega & =& 2\end{array}$$

Βλέπουμε ότι μετά την αφαίρεση πήραμε ω = 2, άρα πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με διαφορά δύο.

Άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου

Συχνά χρειάζεται να βρούμε το άθροισμα των πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου. Πώς θα το κάναμε; Διαισθητικά μάλλον κάπως έτσι. Θα μείνουμε στους άρτιους αριθμούς. Ποιο είναι το άθροισμα των τριών πρώτων άρτιων αριθμών; Δηλαδή των αριθμών 2, 4 και 6. Μπορούμε φυσικά να τους προσθέσουμε διαδοχικά, αλλά δεν το θέλουμε, θέλουμε τύπο.

Τροποποιούμε την ακολουθία ως εξής: στον πρώτο όρο προσθέτουμε δύο και από τον τελευταίο αφαιρούμε το δύο. Παίρνουμε 4, 4, 4. Βλέπουμε ότι έχουμε τρεις ίδιους αριθμούς, άρα αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το τέσσερα με το πλήθος των όρων, δηλαδή το τρία. Άρα 4 · 3 = 12.

Με πέντε όρους θα έμοιαζε ως εξής: 2, 4, 6, 8, 10. Στους ακραίους όρους προσθέτουμε και αφαιρούμε το τέσσερα, στους προτελευταίους το δύο.

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_{\nu }& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ {\alpha }_{\nu }& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Πάλι αρκεί μόνο να πολλαπλασιάσουμε 6 · 5 = 30. Τι βλέπουμε; Πολλαπλασιάζουμε πάντα το πλήθος των όρων της ακολουθίας με τον μεσαίο όρο της ακολουθίας. Στην ακολουθία 2, 4, 6 στη μέση ήταν το τέσσερα και στην ακολουθία 2, 4, 6, 8, 10 στη μέση ήταν το 6. Πώς υπολογίζεται γενικά ο μεσαίος όρος (ας τον ονομάσουμε p); Τον υπολογίζουμε ως μέσο όρο του πρώτου και του τελευταίου όρου της ακολουθίας, δηλαδή

$$p=\frac{{\alpha }_1+{\alpha }_{\nu }}{2}$$

Για παράδειγμα στη δεύτερη ακολουθία

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Ο τελικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων ν όρων της ακολουθίας α_ν θα ήταν

$$S_{\nu }=\nu \cdot \frac{{\alpha }_1+{\alpha }_{\nu }}{2}$$

Ο τύπος ισχύει και για άρτιο πλήθος όρων, παρόλο που στην εξαγωγή του τύπου χρησιμοποιήσαμε μόνο περιττό πλήθος όρων.

Πώς να υπολογίσεις τη διαφορά

Πώς να υπολογίσεις τη διαφορά, αν ξέρεις δύο όρους της ακολουθίας. Ας μείνουμε στους άρτιους αριθμούς. Ας πούμε ότι ξέρουμε αυτούς τους δύο όρους της ακολουθίας

$${\alpha }_3=6,{\alpha }_7=14.$$

Πώς θα υπολογίσουμε τη διαφορά; Πρώτα υπολογίζουμε τη διαφορά ανάμεσα σε αυτούς τους δύο όρους:

$${\alpha }_7-{\alpha }_3=14-6=8$$

Τώρα αρκεί να διαιρέσουμε αυτό το αποτέλεσμα με το πλήθος των βημάτων ανάμεσα στους δύο όρους που ξέρουμε, δηλαδή με τη διαφορά των δεικτών τους:

$$\frac{{\alpha }_7-{\alpha }_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Η διαφορά είναι δύο. Ο τελικός τύπος για τον υπολογισμό της διαφοράς ω, αν ξέρουμε τους όρους α_κ και α_μ της ακολουθίας:

$$\omega =\frac{{\alpha }_{\mu }-{\alpha }_{\kappa }}{\mu -\kappa }$$

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου εμφανίζει σταθερή αύξηση ή σταθερή μείωση – τα μεμονωμένα σημεία της γραφικής παράστασης βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία.

Γεωμετρική πρόοδος

Η γεωμετρική πρόοδος διαφέρει από την προηγούμενη αριθμητική στο ότι δύο διαδοχικοί όροι δεν έχουν την ίδια διαφορά, αλλά το ίδιο πηλίκο. Αυτό το πηλίκο δεν ονομάζεται διαφορά, όπως στην αριθμητική πρόοδο, αλλά λόγος (τον συμβολίζουμε λ). Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να έχουμε μια ακολουθία όπου λ = 10 και ο πρώτος όρος θα ήταν 5:

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& 5\\ {\alpha }_2& =& {\alpha }_1\cdot 10(=50)\\ {\alpha }_3& =& {\alpha }_2\cdot 10(=500)\\ {\alpha }_4& =& {\alpha }_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Γενικά ισχύει λοιπόν ο τύπος:

$${\alpha }_{\nu +1}={\alpha }_{\nu }\cdot \lambda$$

Ο τύπος για τον γενικό όρο της γεωμετρικής προόδου θα ήταν ως εξής:

$${\alpha }_{\nu }={\alpha }_1\cdot {\lambda }^{\nu -1}$$

Για παράδειγμα τον τρίτο όρο της προηγούμενης ακολουθίας θα τον υπολογίζαμε ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_3& =& {\alpha }_1\cdot {\lambda }^{3-1}\\ {\alpha }_3& =& 5\cdot {\lambda }^2\\ {\alpha }_3& =& 5\cdot {10}^2\\ {\alpha }_3& =& 500\end{array}$$

Τις γεωμετρικές προόδους μπορούμε να τις χωρίσουμε σε δύο ακόμη ομάδες, ανάλογα με τον λόγο που έχουν. Αν η απόλυτη τιμή του λόγου είναι μικρότερη από ένα, ολόκληρη η ακολουθία θα τείνει στο μηδέν. Μια τέτοια ακολουθία ονομάζεται συγκλίνουσα. Αντίθετα, αν η απόλυτη τιμή του λόγου είναι τουλάχιστον ένα, η ακολουθία δεν θα πλησιάζει το μηδέν και λέγεται αποκλίνουσα ακολουθία. Για τη συγκλίνουσα ακολουθία ισχύει τότε ένας απλός τύπος για το άθροισμα ολόκληρης της σειράς (ισχύει μόνο για τη συγκλίνουσα, γιατί η αποκλίνουσα δεν έχει πεπερασμένο άθροισμα):

$$S_{\alpha }=\frac{{\alpha }_1}{1-\lambda }.$$

Τύπος για τον υπολογισμό του αθροίσματος των πρώτων κ όρων της γεωμετρικής προόδου α_ν:

$$S_{\kappa }={\alpha }_1\cdot \frac{{\lambda }^{\kappa }-1}{\lambda -1}$$

Την απόδειξη του τύπου μπορείς να τη διαβάσεις στη Βικιπαίδεια.

Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου, εκτός από την περίπτωση που ο λόγος είναι ίσος με ένα ή μηδέν, είναι ένα σύνολο μεμονωμένων σημείων που δεν βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία. Μια τυπική γραφική παράσταση γεωμετρικής προόδου μοιάζει ως εξής:

Αν ο λόγος είναι αρνητικός, η γραφική παράσταση θα έχει δύο κλάδους: