Παράγωγος συνάρτησης

Η παράγωγος είναι βασική έννοια του διαφορικού λογισμού, παίζει σημαντικό ρόλο για παράδειγμα στη μελέτη μιας συνάρτησης και από τη μία πλευρά είναι μισητή στους μαθητές, ενώ από την άλλη την παράγωγο θα την υπολογίσει και ένας κατάλληλα εκπαιδευμένος πίθηκος. Σε αυτό το άρθρο θα περιγραφεί και θα εξηγηθεί μόνο ο ορισμός της παραγώγου και οι σχετικές έννοιες. Λυμένα παραδείγματα θα βρεις στα διπλανά άρθρα: απλά παραδείγματα παραγώγων και πιο δύσκολα παραδείγματα. Η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης είναι η ολοκλήρωση.

Τι είναι η παράγωγος

Πριν φτάσουμε καν στον ορισμό της παραγώγου, ας δούμε τι ακριβώς υπολογίζουμε με την παράγωγο και σε τι μπορεί να μας χρησιμεύσει στη συνέχεια.

Με την παράγωγο μιας συνάρτησης παίρνουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης. Αυτό είναι μάλλον πολλές βαριές λέξεις μαζί, οπότε ας τα πάρουμε από την αρχή. Με απλά λόγια, η εφαπτομένη είναι η ευθεία που αγγίζει τη δεδομένη γραφική παράσταση σε ακριβώς ένα σημείο. Αυτός δεν είναι ακριβής ορισμός, αλλά χονδρικά αρκεί. Τώρα παρατήρησε το παρακάτω σχήμα:

Η μαύρη καμπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x². Η μπλε ευθεία είναι η εφαπτομένη αυτής της συνάρτησης στο σημείο D(1, 1), που είναι σημειωμένο με κόκκινο. Με πράσινο είναι σημειωμένη η γωνία α που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα x'x – πιο συγκεκριμένα με τον θετικό ημιάξονα Ox. Τώρα θα ορίσουμε την έννοια του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι σε αυτό το σχήμα η εφαπτομένη της γωνίας άλφα. Η εφαπτομένη είναι μια κλασική τριγωνομετρική συνάρτηση, με την οποία μπορούμε για παράδειγμα να υπολογίζουμε γωνίες και μήκη πλευρών σε ένα τρίγωνο. Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η δεδομένη εφαπτομένη με τον θετικό ημιάξονα Ox. Και αυτόν τον συντελεστή διεύθυνσης τον παίρνουμε ακριβώς με τις παραγώγους.

Στη συνέχεια ξεχωρίζουμε τις έννοιες παράγωγος συνάρτησης σε σημείο και παράγωγος συνάρτησης. Η παράγωγος συνάρτησης σε σημείο παριστάνει ακριβώς τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης στο δεδομένο σημείο. Η παράγωγος συνάρτησης είναι τότε μια άλλη συνάρτηση, που δίνει τους συντελεστές διεύθυνσης για τυχαίο όρισμα x. Ακολουθεί παράδειγμα.

Κίνητρο

Με την παράγωγο λοιπόν μπορούμε να υπολογίσουμε συντελεστές διεύθυνσης εφαπτομένων. Σε τι μπορεί να χρησιμεύει αυτό; Παρατήρησε το παρακάτω σχήμα:

Στο σχήμα βλέπουμε πάλι τη συνάρτηση y = x² και τέσσερις σημειωμένες εφαπτομένες. Δύο πράσινες και δύο μπλε. Πρόσεξε ότι η συνάρτηση y = x² είναι στο διάστημα (−∞, 0) γνησίως φθίνουσα, ενώ στο διάστημα (0, +∞) είναι γνησίως αύξουσα. Τι ισχύει όμως ταυτόχρονα για τις εφαπτομένες τους, ή μάλλον για τη γωνία που σχηματίζουν με τον θετικό ημιάξονα; Οι μπλε εφαπτομένες, δηλαδή οι εφαπτομένες που περνούν από σημεία που ανήκουν στο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση αυξάνεται, σχηματίζουν με τον άξονα γωνία μικρότερη από 90 μοίρες. Οι πράσινες εφαπτομένες αντίθετα σχηματίζουν με τον άξονα γωνία μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Πώς φαίνεται αυτό στους συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων;

Για να το δούμε, χρειάζεται να ξέρουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης εφαπτομένη. Από την παρακάτω γραφική παράσταση μαθαίνουμε ότι αν η γωνία έχει μέτρο μικρότερο από 90 μοίρες, τότε η τιμή της εφαπτομένης είναι θετική (το μπλε τμήμα)· αντίθετα, αν η γωνία είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες, αλλά μικρότερη από 180 μοίρες (δηλαδή μικρότερη από π ακτίνια), τότε η τιμή της εφαπτομένης είναι αρνητική. Ποιο συμπέρασμα μπορούμε λοιπόν να βγάλουμε; Αν ο συντελεστής διεύθυνσης (μην ξεχνάς ότι ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ακριβώς η εφαπτομένη της γωνίας) της εφαπτομένης στο δεδομένο σημείο είναι θετικός, τότε η συνάρτηση στο σημείο αυτό αυξάνεται, αν είναι αρνητικός, τότε φθίνει.

Ορισμός

Πριν φτάσουμε στον ίδιο τον ορισμό της παραγώγου, πρέπει να διανύσουμε μακρύ δρόμο. Και για αυτό θα χρειαστούμε το όριο συνάρτησης. Αν δεν ξέρεις τα όρια, γύρνα πίσω σε αυτά ή πήγαινε κατευθείαν στους τύπους, η συνέχεια μάλλον δεν είναι για σένα.

Πριν περάσουμε στον συντελεστή διεύθυνσης της ίδιας της εφαπτομένης, θα σταθούμε στον συντελεστή διεύθυνσης της τέμνουσας, που είναι πιο εύκολος. Τέμνουσα είναι η ευθεία που τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο σημεία. Τώρα θα προσπαθήσουμε να βρούμε πώς θα υπολογίζαμε αυτόν τον συντελεστή διεύθυνσης. Κοίτα το σχήμα:

Έχουμε εκεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης x² + 1 και την τέμνουσα s, που τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο σημεία (0,5; 1,25) και (2, 5). Αυτά τα σημεία είναι σημειωμένα με μπλε. Επειδή δεν μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα οι συγκεκριμένες τιμές, στη γραφική παράσταση οι τιμές αυτές έχουν σημειωθεί γενικά ως a και b και f(a) και f(b). Όπου το f(a) είναι η τιμή της συνάρτησης f στο σημείο x = a. Ισχύει: η τιμή της συνάρτησής μας x² + 1 στο σημείο x = 2 είναι 2² + 1 = 5.

Τώρα πρέπει να βρούμε πώς θα υπολογίσουμε τη γωνία που σημειώσαμε ως άλφα, δηλαδή τη γωνία που σχηματίζει η τέμνουσα με τον άξονα x'x. Πρώτα θα τροποποιήσουμε λίγο το σχήμα, ώστε να πάρουμε κάποιο τρίγωνο, γιατί θα δουλέψουμε πιο εύκολα με αυτό.

Τι κάναμε; Ενώσαμε με ευθύγραμμο τμήμα τα σημεία στα οποία η τέμνουσα τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x² + 1 και συμπληρώσαμε το σχήμα σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Σε τι μας βοήθησε; Η γωνία που σημειώσαμε ως β έχει το ίδιο μέτρο με τη γωνία α (είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες). Ταυτόχρονα όμως ξέρουμε τα μήκη των πλευρών AB και BC. Ισχύει ότι |AB| = b − a (είναι απλώς η απόσταση του σημείου b από το a). Αντίστοιχα ισχύει ότι το μήκος |BC| = f(b) − f(a). Πώς θα υπολογίσουμε τώρα το μέτρο της γωνίας β, δηλαδή α;

Πρέπει να ξέρουμε πώς υπολογίζεται η εφαπτομένη. Η εφαπτομένη είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά, δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας άλφα (βήτα) ισούται με τον λόγο του μήκους της πλευράς BC προς το μήκος της πλευράς AB. Το γράφουμε:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης είναι η εφαπτομένη της γωνίας, με αυτόν τον τύπο υπολογίσαμε τον συντελεστή διεύθυνσης της τέμνουσας. Πώς όμως θα μας βοηθήσει αυτό, όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης; Φαντάσου ότι πλησιάζουμε τα σημεία A και C μεταξύ τους τόσο, μέχρι να ταυτιστούν. Το πλησίασμα απεικονίζει το σχήμα:

Όσο περισσότερο πλησιάζουμε το πάνω σημείο τομής στο κάτω σημείο τομής, τόσο πιο κοντά είναι η τέμνουσα στο να γίνει εφαπτομένη. Η αρχική τέμνουσα/ευθεία CA ήταν μακριά από το να είναι εφαπτομένη. Όταν πλησιάσουμε το σημείο C στο A, παίρνουμε για παράδειγμα την τέμνουσα C₁A, που μοιάζει ήδη περισσότερο με εφαπτομένη. Η τέμνουσα C₂A μοιάζει ακόμη περισσότερο κ.ο.κ.

Πότε η τέμνουσα γίνεται εφαπτομένη; Τη στιγμή που τα δύο σημεία τομής ενώνονται σε ένα, δηλαδή όταν για κάποιο σημείο C_n θα ίσχυε C_n = A. Τότε από την τέμνουσα έχουμε εφαπτομένη, που ήταν αυτό που θέλαμε. Το ερώτημα είναι πώς θα υπολογίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης, γιατί δεν μπορούμε απλώς να αφαιρέσουμε αυτά τα δύο σημεία, αφού είναι ίδια:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Αυτό δεν βγαίνει, έτσι δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε. Δεν είναι τυχαίο ότι τα δεδομένα σημεία μόνο τα πλησιάζαμε μεταξύ τους. Θα χρειαστούμε δηλαδή όριο. Θέλουμε τώρα να υπολογίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης στο δεδομένο σημείο (a, f(a)) και έχουμε στη διάθεσή μας τους συντελεστές διεύθυνσης όλων των δυνατών τεμνουσών (αυτούς ήδη ξέρουμε να τους υπολογίζουμε). Θα υπολογίζουμε λοιπόν διαδοχικά τους συντελεστές διεύθυνσης των τεμνουσών, τις οποίες θα πλησιάζουμε ώστε να προκύψει εφαπτομένη. Θα πλησιάζουμε δηλαδή το b στο a. Δεν μπορούμε να πλησιάσουμε τα σημεία ώστε να γίνουν ίσα, αλλά μπορούμε να τα πλησιάσουμε ώστε η διαφορά τους να τείνει στο μηδέν. Να το όριο! Θα πλησιάζουμε λοιπόν το b στο a, μέχρι να γίνουν στο όριο ίσα. Υπολογίζουμε δηλαδή το όριο όταν το b τείνει στο a. Αυτό είναι όλο, ο τύπος έχει ως εξής:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Αυτό το όριο το ονομάζουμε παράγωγο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x = a. Υπενθυμίζω ότι η γωνία α είναι ίση με τη γωνία β. Συνήθως δεν χρησιμοποιούμε τις μεταβλητές a και b, αλλά ψάχνουμε την παράγωγο στο σημείο x₀ και πλησιάζουμε με το σημείο x. Μπορούμε τότε να γράψουμε:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Μέχρι στιγμής έχουμε, όπως και στη συνέχεια συνάρτησης, ορίσει την παράγωγο σε ένα σημείο. Αν έχουμε μια συνάρτηση f(x) που είναι παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα Δ, τότε οι τιμές αυτής της παραγώγου ορίζουν τη συνάρτηση f′(x), την οποία ονομάζουμε παράγωγο της συνάρτησης.

Την παράγωγο τη γράφουμε με τόνο στον πάνω δείκτη, κάπως έτσι:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Μπορεί να συναντήσεις και άλλη μορφή γραφής, με το dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Στον τύπο που χρησιμοποιήσαμε πριν από λίγο, μπορούμε έτσι να αντικαταστήσουμε την εφαπτομένη με τον συμβολισμό της παραγώγου:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Μπορούμε να ορίσουμε και πλευρική παράγωγο από δεξιά ή από αριστερά με τη βοήθεια πλευρικών ορίων. Με αυτό δεν θα ασχοληθούμε τώρα, δεν είναι και τόσο σημαντικό.

Λίγο διαφορετικός ορισμός

Ένας άλλος ορισμός της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο έχει ως εξής:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Πώς φτάνουμε σε έναν τέτοιο ορισμό; Αρκεί να αλλάξουμε λίγο το σχήμα από το οποίο ξεκινήσαμε. Μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση του σημείου a από το σημείο b ως h = b − a. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε το σημείο b ως a + h, επειδή το h είναι ακριβώς η απόσταση του b από το a. Το σχήμα θα έμοιαζε έτσι:

Κάτω έχουμε τα σημεία a και a + h, στον άξονα y'y τα f(a) και f(a + h). Τώρα πάλι δημιουργούμε τρίγωνο και υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας βήτα. Με τη διαφορά ότι το μήκος της πλευράς AB το έχουμε ήδη, είναι ακριβώς το h.

Πεπερασμένη και άπειρη παράγωγος

Και οι παράγωγοι είναι πεπερασμένες και άπειρες, όπως και τα όρια συναρτήσεων. Τι σημαίνει αυτό; Η παράγωγος είναι πεπερασμένη, αν η τιμή της παραγώγου στο σημείο είναι ίση με κάποιον πραγματικό αριθμό. Η παράγωγος είναι άπειρη, αν είναι ίση με συν ή μείον άπειρο. Πώς να το φανταστούμε γεωμετρικά; Πότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι «άπειρος»; Θα ξεκινήσουμε με πιο εύκολη ερώτηση – πώς μοιάζει μια εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ίσος με έναν μεγάλο αριθμό; Από τη γραφική παράσταση της εφαπτομένης (δες παραπάνω) φαίνεται ότι αν η τιμή της εφαπτομένης είναι μεγάλη, τότε η γωνία πλησιάζει τις 90 μοίρες (αν κινούμαστε στο διάστημα (0, 180)).

Θα μπορούσε κανείς να συμπεράνει ότι αν η συνάρτηση έχει σε κάποιο σημείο άπειρη παράγωγο, τότε η εφαπτομένη θα σχηματίζει με τον άξονα x'x ορθή γωνία, θα είναι κάθετη σε αυτόν. Και πράγματι. Πώς θα μπορούσε να μοιάζει η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης και σε ποιο σημείο η εφαπτομένη θα ήταν κάθετη στον άξονα x'x; Για παράδειγμα η συνάρτηση $y=\sqrt[3]{x}$:

Βασικές ιδιότητες

• Για να έχει η συνάρτηση παράγωγο σε ένα σημείο, πρέπει να είναι ορισμένη σε κάποια περιοχή αυτού του σημείου. Αν δεν υπήρχε αυτή η περιοχή, δεν θα φτάναμε να υπολογίσουμε τα όρια, μέσω των οποίων ορίζεται η παράγωγος.

• Η μοναδικότητα της ύπαρξης (ή μη ύπαρξης) των ορίων μας δίνει ότι αν σε ένα σημείο υπάρχει παράγωγος, είναι μοναδική. Καμία συνάρτηση δεν έχει σε ένα σημείο περισσότερες παραγώγους. Είτε μία, είτε καμία.

• Όπως και στα πλευρικά όρια, αν η συνάρτηση έχει σε ένα σημείο παράγωγο, τότε οι παράγωγοι από αριστερά και από δεξιά πρέπει να είναι ίσες.

• Μερικές φορές χρειάζεται να ξέρουμε τη λεγόμενη δεύτερη παράγωγο. Δεν πρόκειται για κάτι δύσκολο, απλώς παραγωγίζουμε τη συνάρτηση μία φορά και μετά παραγωγίζουμε το αποτέλεσμα άλλη μία. Τη συμβολίζουμε με δύο τόνους: f''(x) = (f'(x))'.

• Σημαντική ιδιότητα: αν η συνάρτηση έχει σε ένα σημείο παράγωγο, τότε είναι σε αυτό το σημείο συνεχής. Προκύπτει πάλι από τις ιδιότητες των ορίων. Πρόσεξε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Αν η συνάρτηση είναι σε ένα σημείο συνεχής, αυτό δεν σημαίνει ότι είναι εκεί και παραγωγίσιμη. Τυπικό παράδειγμα είναι η συνάρτηση f(x) = |x|. Η γραφική παράσταση έχει αιχμή, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης σε αυτή την αιχμή. Μπορείς να δοκιμάσεις να υπολογίσεις την παράγωγο από αριστερά και από δεξιά, θα είναι διαφορετικές.

  

• Με τη βοήθεια των παραγώγων μπορούμε να υπολογίσουμε και ορισμένα όρια, γι' αυτό χρησιμεύει ο κανόνας de l’Hospital.

Παραπομπές

Στο διπλανό άρθρο θα βρεις έναν κατάλογο τύπων για την παραγώγιση. Κάποιους ακόμη θα βρεις στη Βικιπαίδεια.

Μπορείς επίσης να δεις τα λυμένα παραδείγματα παραγώγων και μετά, αν θέλεις, τα δυσκολότερα παραδείγματα παραγώγων.

Αν θέλεις να ελέγξεις γρήγορα έναν υπολογισμό παραγώγου, μπορείς να χρησιμοποιήσεις κάποιο μαθηματικό εργαλείο, όπως το Wolfram|Alpha. Αρκεί να γράψεις στο πεδίο εισαγωγής «derive x^2+6x» (για παράδειγμα) και το Wolfram θα υπολογίσει την παράγωγο της δοσμένης συνάρτησης.