Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal está formado por números y cumple que el número que se encuentra debajo de otros dos es igual a su suma. Vamos a construir un triángulo de Pascal y después veremos para qué cosas puede servir.

Cómo construir el triángulo de Pascal

A los lados de nuestro triángulo escribimos solo unos y el interior del triángulo lo rellenamos por ahora con interrogantes:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Ahora calculamos el primer interrogante: sumamos los dos números que hay encima y obtenemos 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

De forma parecida calculamos los interrogantes de la fila siguiente. Primero obtenemos 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Y luego obtenemos 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Seguiremos así y, con cada fila nueva, obtendremos otra parte del triángulo de Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

El triángulo de Pascal es, naturalmente, infinito: siempre podemos crear más y más filas. Pero siempre se cumple que en los bordes tenemos unos y en el interior del triángulo tenemos números que han surgido como suma de los números que hay encima de ese número. Por ejemplo, el número 15 de la última fila surgió como suma de los números 5 y 10 que tiene encima.

Propiedades básicas del triángulo de Pascal

La primera propiedad básica ya la hemos dicho: a los lados del triángulo tenemos siempre unos:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

En la «segunda diagonal» tenemos siempre todos los números naturales:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

¿Te has fijado, por cierto, en que el triángulo de Pascal es simétrico? Cada fila es igual leída de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Números triangulares

En la tercera diagonal tenemos los números 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

¿Qué tienen de interesante? A estos números los llamamos números triangulares. Imagina que tuvieras varios círculos y quisieras colocarlos formando un triángulo. ¿Cuántos círculos necesitarías? Mira la siguiente figura:

Vemos que para un triángulo de lado 1 necesitamos justo un círculo. Para un lado de longitud dos necesitamos tres círculos, para longitud tres necesitamos seis círculos y para longitud cuatro necesitamos diez círculos. El número de círculos que necesitamos es siempre algún número triangular, que encontramos en el triángulo de Pascal.

Suma de las filas

¿Y si probáramos a sumar cada fila del triángulo de Pascal?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vemos que la suma de cada fila es el doble de la suma de la fila anterior. Todas las sumas son, por tanto, iguales a alguna potencia de dos. Si llamamos fila cero a la fila más alta, podemos escribir que la suma de la fila n del triángulo de Pascal es igual a 2ⁿ.

Números primos

Llamemos fila cero a la fila más alta del triángulo. Entonces se cumple que, si elegimos una fila n en la que n es un número primo, todos los números de esa fila son divisibles por n (salvo los unos de los bordes).

Como ejemplo, tomemos n = 5. El número cinco es un número primo. La fila cinco tiene este aspecto:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Cada uno de estos números marcados es divisible por cinco.

Binomio de Newton

Seguro que conoces las fórmulas para calcular (a + b)² o (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Podemos observar que los coeficientes de cada término coinciden con los números del triángulo de Pascal. Veamos, por ejemplo, la expresión

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Primero, a los términos a³ y b³ les añadimos la multiplicación por uno, para que se vea con más claridad:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

En este momento vemos que los coeficientes por los que multiplicamos los términos son iguales que los de la fila tres del triángulo de Pascal (si la fila más alta la contamos como la fila cero):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Pero a este fenómeno se dedica un artículo aparte sobre el binomio de Newton.