Despejar una variable

Cómo despejar una variable concreta de una relación o de una fracción más complicada. Esta técnica se usa especialmente al trabajar con distintas fórmulas en las que aparecen varias variables. Combinada además con otras fórmulas podemos conseguir proezas insospechadas, deduciendo de la nada todo lo demás.

Expresiones lineales sencillas

Tomemos esta fórmula: ax + b = c. ¿Cómo despejamos x de esta fórmula imaginaria? Empezamos siempre pasando todos los términos con la variable que queremos despejar al lado izquierdo y el resto al derecho. En teoría da igual qué quede en cada lado, pero lo habitual es tener a la izquierda la incógnita que despejamos. Así que primero pasamos b al lado derecho, es decir, sumamos −b a la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Los términos con la variable ya están en un lado, pero todavía nos estorba ese a. ¿Cómo librarnos de él con elegancia? ¿Qué tenemos que hacer con la expresión ax para quedarnos solo con x? Exacto: dividir la expresión —y, por tanto, toda la ecuación— entre a, o lo que es lo mismo, multiplicar por $\frac{1}{a}$. El valor de a tiene que ser distinto de cero (no se puede dividir entre cero). Si lo hacemos, obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Listo. Otro ejemplo:

$$2ax-3bx=10a$$

De nuevo tenemos que despejar x. Los términos con la incógnita ya los tenemos en el lado izquierdo, así que nos ahorramos algo de trabajo. La complicación es que hay dos términos con la incógnita. La situación la resolvemos sacando factor común. Del lado izquierdo de la ecuación sacamos factor común x y obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Cuando en el ejemplo anterior teníamos la expresión ax y queríamos obtener solo x, multiplicamos toda la ecuación por $\frac{1}{a}$. Ahora tenemos en la ecuación la expresión x(2a − 3b) y de nuevo queremos conocer x. Hacemos lo mismo: dividimos toda la ecuación entre la expresión (2a − 3b). No tengas miedo, la ecuación realmente se puede dividir entre un paréntesis entero, solo tiene que cumplirse 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Fracciones

Si tenemos una expresión con fracciones, usamos las mismas transformaciones de ecuaciones, solo que hay que tener cuidado de no dividir ni multiplicar por cero sin darnos cuenta. Ejemplo:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Queremos despejar x. Multiplicamos toda la ecuación por x, aunque debemos suponer que x ≠ 0. Eso se cumple de todos modos, porque en la ecuación hay una fracción $\frac{a}{x}$ y x está en el denominador, y no se puede dividir entre cero. Obtenemos así la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Al despejar la incógnita, en definitiva, usa las transformaciones equivalentes de ecuaciones habituales.