Razones

Las razones se suelen usar cuando queremos especificar la proporción de una sustancia A con respecto a una sustancia B. Por ejemplo, si de la sustancia A tiene que haber el doble, la mitad, etc. Por supuesto, no tiene por qué tratarse solo de una razón entre dos sustancias: pueden intervenir varias.

Razones relativas

Las razones son siempre relativas, no son ninguna magnitud absoluta. Si en la receta pone «añade medio kilo de azúcar y un cuarto de kilo de carne», es algo distinto de si pusiera «añade un poco de carne y el doble de azúcar». En el primer caso no nos queda más remedio que comprar medio kilo de azúcar, pero en el segundo basta con tener el doble de azúcar que de carne. En ambos casos, eso sí, cocinaremos un potaje incomible.

Las razones se suelen escribir con dos puntos. Por ejemplo, 1:2 o 5:4. ¿Qué significa esta notación? La primera significa que la primera sustancia debe estar presente en la mitad de cantidad que la segunda. La segunda dice que la sustancia A debe estar en el cuenco 5 veces, mientras que de la sustancia B, en la misma cantidad, solo cuatro.

Si tenemos que preparar un cóctel «mañanaresaca», cuya razón de vodka a ron es 5:2, significa que en el vaso echamos 5 cl de vodka y 2 cl de ron. Como se trata de una razón, cumplimos el enunciado también si echamos 2,5 cl de vodka y 1 cl de ron. Basta con que haya 2,5 veces más vodka que ron. Llegamos al número 2,5 dividiendo 5 / 2. Así, si la razón de unas sustancias A y B es 5:1, significa que de la sustancia A tiene que haber cinco veces más (5 / 1). En la razón 7:3 sería aproximadamente 2,3 veces más (7 / 3). En la razón 1:1 habría la misma cantidad de ambas sustancias y, por último, en la razón 2:3 habría 1,5 veces más de la sustancia B (3 / 2) o bien de la sustancia A habría solo unas 0,67 veces la cantidad de la sustancia B (2 / 3).

Ejemplos resueltos

Tenemos en la cartera cuarenta euros en monedas pequeñas. Además, tenemos en el jardín a dos trabajadores que han cavado toda la noche una tumba para la vecina que no deja de mirar por la ventana a tu salón. Como Toño trabajó más rápido que Gus, recibirá más dinero, en la razón 7:3. ¿Cuánto dinero recibirán por su morboso trabajo si suponemos que no somos tacaños y les damos los 40 € enteros?

Se calcula fácilmente. Tenemos la razón 7:3. Es decir, Toño recibe siete partes, mientras que Gus solo tres. Sumamos las partes de la razón, 7 + 3 = 10, y con este número dividimos los 40 € que queremos darles: 40 / 10 = 4. Así hemos calculado cuántos euros corresponden a una parte. Toño debe recibir siete partes: 4 · 7 = 28 y Gus tres partes: 3 · 4 = 12. Y ya está resuelto: Toño recibe 28 € y Gus 12 €.

Esta es la forma más sencilla de resolver los ejercicios con razones. Una razón nos expresa, en realidad, las partes de un determinado todo. Si la razón es 1:2, significa que de la sustancia A hay 1/3 del total y de la sustancia B, 2/3. Son solo fracciones escritas de otra manera. El denominador lo obtenemos sumando todas las partes de la razón, y como numerador ponemos las partes dadas. Si sumamos todas las razones, tiene que salirnos el total, es decir, la unidad. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. También podemos expresarlo en porcentajes: 33,3 % y 66,7 % (aproximadamente). Otro ejemplo sencillo:

Lucía y Hugo son amigos desde la infancia, pero por desgracia cada uno fue a una universidad distinta, y eso los separó durante mucho tiempo. Lucía estudió Historia y Hugo estudió Matemáticas y Física. Pasados los años se encontraron en su bar preferido, «La Taberna del Sapo», y se pusieron a charlar. Lucía le contó a Hugo que desde que no se veían había tenido dieciséis parejas (Lucía era una chica muy guapa y también un poco ligera de cascos). Pero Hugo era un zorro y no le dijo a Lucía el número exacto de sus chicas, solo le dijo que la razón entre sus parejas y las de él es 8:3. En fin, un matemático… Pero Lucía no solo tenía unas medidas perfectas, 89-61-88, sino que además era lista, así que se puso a calcular: Bien, mis dieciséis parejas se corresponden con el ocho de la razón que me ha dicho Hugo. Así que, si quiero saber cuántos chicos corresponden a una parte de la razón, tengo que dividir 16 / 8 = 2. Es decir, a una parte le corresponden dos parejas. Hugo tiene tres partes, así que el número de sus parejas es dos por tres, que son seis. Hugo asintió y pidió otra copa. Después de aquella noche, el marcador de ambos subió exactamente en una unidad, pero eso ya es otra historia.

Irene trabajaba de camarera en el local «Sk8 is Gr8». Una noche se le acercó a la barra un tipo algo bebido y quiso tomar una bebida combinada especial. Le dio a la camarera estas instrucciones: «Guapa, lo quiero en un vaso de medio litro. Quiero zumo de plátano, cola y café. Todo en la razón 5:2:3.» A la camarera Irene le extrañó, pero el cliente siempre tiene la razón. Se puso manos a la obra. Primero sumó todas las partes de la razón: 5 + 2 + 3 = 10. En un vaso de medio litro caben 500 ml de líquido. Tenía, por tanto, que averiguar a cuántos mililitros corresponde una parte de la razón. Lo averiguó fácilmente: 500 / 10 = 50. A una parte le corresponden 50 mililitros. Así que en el vaso echó 5 · 50 = 250 ml de zumo de plátano, 2 · 50 = 100 ml de cola y 3 · 50 = 150 ml de café. Cuando el tipo apareció por segunda vez, pidió la llave del baño.

Escala de un mapa

Un uso clásico de las razones es también la escala de un mapa.