Matemaattiset merkit

Matematiikka on täynnä erilaisia merkkejä, joihin tavallinen kuolevainen voi helposti eksyä. Tämä artikkeli yrittää kattaa ja selittää ainakin ne perusmerkit, joihin voit törmätä matematiikassa joka askeleella.

Merkkiluettelo

• +, −, · , /: peruslaskutoimitusten merkit eli yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku. Kertomerkkinä käytetään usein tähteä * tai tavallista pistettä ”.”. On vaikea sanoa, mikä merkintä on oikea, sillä standardit, typografiset normit ja tavat eivät ole yhtenäisiä. Useimmiten, jos ohjelmisto sallii, käytetään keskipistettä: ·. Jakolaskussa käytetään joko mainittua vinoviivaa tai kaksoispistettä : tai kaksoispistettä, jonka keskellä on viiva: ÷. Yleisimmin käytetään luultavasti vinoviivaa.

• (), [], {}: kolmenlaisia sulkuja. Niillä on eri käyttötarkoituksia. Kaarisulkuja käytetään laskujärjestyksen määrittämiseen ja lausekkeiden ryhmittelyyn. Jos esimerkiksi kirjoittaisit:

  $$1+2/3+4$$

  ei välttämättä olisi selvää, mitä tarkoitat. Näin kirjoitettuna se tarkoittaa yksi plus kaksi kolmasosaa plus neljä. Jos haluaisit siitä yhden ison murtoluvun, käytät kaarisulkuja:

  $$(1+2)/(3+4)$$

  Pisteen koordinaatit kirjoitetaan kaarisulkeisiin. Jos haluaisit kirjoittaa pisteen, jonka koordinaatit ovat x = 10 ja y = 12, kirjoittaisit sen näin: (10, 12).

• x² yläindeksiä käytetään potensseille. Edellisen lausekkeen x² voi kirjoittaa auki muodossa x · x. Yläindeksissä olevaa lauseketta kutsutaan eksponentiksi.

• $\sqrt{}$: neliöjuuren merkki. Se on potenssiin korottamisen käänteistoiminto. Neliöjuurelle pätee:

  $$\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x$$

• % on prosentin merkki, ja sitä käytetään matematiikassakin prosenttilaskuun. Sen takana ei ole mitään sen monimutkaisempaa.

• |x|: pystyviivat merkitsevät itseisarvoa. Itseisarvo tekee negatiivisesta luvusta positiivisen. Esimerkiksi: |−5| = 5. Pystyviivat voivat myös geometriassa merkitä kahden pisteen välistä etäisyyttä. Jos meillä on pisteet A ja B, merkitsemme pisteiden välisen etäisyyden |AB|.

• !: huutomerkki merkitsee kertomaa. Kertoma palauttaa kaikkien annettua lukua pienempien tai yhtä suurten positiivisten kokonaislukujen tulon. Huutomerkki kirjoitetaan sen lausekkeen perään, jonka kertoman haluamme laskea. Esimerkki: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

• π on tyypillinen matemaattinen vakio. π, sanoin ”pii”, on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde. Sitä käytetään useimmiten trigonometriassa ja piirtämisessä, koska piin avulla lasketaan esimerkiksi ympyrän kehän pituus ja pinta-ala. Merkki π on kreikkalaisen aakkoston kirjain. Likiarvo on 3,1415… Koska se on irrationaaliluku, sitä ei voi esittää kokonaan.

• e on toinen tärkeä matemaattinen vakio, Neperin luku. Sitä kutsutaan myös Eulerin luvuksi merkittävän sveitsiläisen matemaatikon Leonhard Eulerin mukaan. Neperin lukua käytetään useimmiten logaritmien yhteydessä: luonnollisen logaritmin kantaluku on juuri Neperin luku. Piin tavoin Neperin luku on irrationaaliluku, eikä sitä voi myöskään esittää kokonaan. Likiarvo on 2,71…

• Funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko ovat funktioon liittyviä joukkoja. Määrittelyjoukko on niiden alkioiden joukko, jotka voimme valita funktion argumentiksi. Arvojoukko on niiden alkioiden joukko, joita funktion arvo voi saada. Niille ei ole Suomessa yleistä lyhennemerkintää, ne ilmaistaan yleensä sanoin (”funktion f määrittelyjoukko”), ja D tarkoittaa usein derivointia.

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})$ on binomikerroin. Se näyttää murtoluvulta ilman murtoviivaa, mutta sen ympärillä on sulut. Nuo sulut kirjoitetaan aina, emme kirjoita vain kahta lukua ilman mitään. Binomikertoimen avulla voi kirjoittaa kombinaatiot lyhyemmin.

• ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ ovat matematiikassa käytettäviä vakiojoukkoja eli joukkoja. Vasemmalta lukien ne ovat: luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut ja kompleksiluvut.

• ⊆ , ∈ , × ovat joukko-opissa käytettäviä operaattoreita. Vasemmalta lukien: osajoukko, alkion kuulumisen joukkoon merkki ja karteesinen tulo.

• f′ merkitsee (tarkemmin sanoen tuo pilkku) funktion f derivaattaa.

• ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ , ¬ ovat propositiologiikassa käytettäviä merkkejä. Vasemmalta lukien: konjunktio, disjunktio, implikaatio, ekvivalenssi ja negaatio.

• $\sum _{i=1}^n{a}_i$ on summan merkki, ja se merkitsee jonkin lukujonon a_i summaa. Tämä on jo melko pelottavan näköinen merkki, mutta siinä ei ole mitään kovin monimutkaista. Summa alkaa arvosta i = 1 ja laskee vähitellen yhteen jonon a_i arvot kasvattaen (korottaen) muuttujan i arvoa yhdellä, kunnes i:n arvo on yhtä suuri kuin yläraja eli n. Näin lasketaan vähitellen yhteen lukujono:

  $$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\dots +a_n$$

  Oletetaan, että meillä on jono a_i = i eli jono 1, 2, 3, … Miten kirjoittaisimme jonon viiden ensimmäisen jäsenen summan?

  $$\sum _{i=1}^5{a}_i=1+2+3+4+5=15$$

• $\prod _{i=1}^n{a}_i$ on tulon merkki, ja se vastaa edellistä summaa, mutta sisäisenä operaationa ei toimi yhteenlasku vaan kertolasku. Tulomerkki palauttaa annettujen jonon jäsenten tulon (summa palauttaa summan). Edellisen jonon a_i = i viiden ensimmäisen jäsenen tulo olisi siis tällainen:

  $$\prod _{i=1}^5{a}_i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$