Kertoma

Luvun n kertoma on kaikkien positiivisten kokonaislukujen, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n, tulo. Kertoma kirjoitetaan huutomerkillä n!. Nollalle pätee 0! = 1. Kertomaa käytetään ennen kaikkea kombinatoriikassa, jossa sen avulla lasketaan esimerkiksi permutaatiot. Esimerkiksi viiden kertoma on 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Kertoman määritelmä

Kertoman voi määritellä eri tavoilla. Yksinkertaisin on luultavasti tämä:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{jos }n=0\\ n\cdot (n-1)!& \text{muulloin}\end{array}$$

Voimme esittää määritelmän myös tulon avulla:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Tai vielä integraalin avulla:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Laskeminen kertomilla

Kertomilla lasketaan usein murtolukujen yhteydessä. Silloin hyödynnetään sitä, että n! = n · (n − 1)!. Tämä pätee määritelmän mukaan, ja näytämme sen esimerkillä. Tiedämme, että neljän kertoma 4! on yhtä suuri kuin näiden luonnollisten lukujen tulo: 4 · 3 · 2 · 1. Tulon 3 · 2 · 1 voimme kirjoittaa kolmen kertomaksi: 3 · 2 · 1 = 3!. Neljän kertoman voimme siis kirjoittaa muodossa 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Tämän ansiosta voimme supistaa monia erilaisia kertomia sisältäviä murtolukuja tehokkaasti. Esimerkki: sievennä lauseke

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Sievennämme äsken mainitun kaavan avulla. Osoittajassa voimme jakaa kertoman muotoon n · (n − 1)! ja tämän (saman kaavan mukaan) vielä muotoon n · (n − 1) · (n − 2)!. Nyt voimme supistaa murtoluvun kauniisti:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Toinen esimerkki:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Ja vielä viimeinen kertomaesimerkki:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$