Muuttujan ratkaiseminen kaavasta

Miten monimutkaisemmasta yhtälöstä tai murtoluvusta ratkaistaan jokin tietty muuttuja? Tätä tekniikkaa käytetään erityisesti silloin, kun työskennellään erilaisten kaavojen kanssa, joissa on useita muuttujia. Yhdistämällä sen toisiin kaavoihin voimme saavuttaa uskomattomia tuloksia, kun johdamme tyhjästä kaiken.

Yksinkertaiset lineaariset lausekkeet

Olkoon meillä tämä kaava: ax + b = c. Miten ratkaisemme tästä kuvitteellisesta kaavasta x:n? Aloitamme aina siirtämällä kaikki ratkaistavaa muuttujaa sisältävät termit vasemmalle puolelle ja loput oikealle. Teoriassa on yhdentekevää, kummalla puolella mikin on, mutta tapana on pitää ratkaistava tuntematon vasemmalla. Siirrämme siis ensin b:n oikealle puolelle eli lisäämme yhtälön molemmille puolille luvun −b:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Muuttujaa sisältävät termit ovat nyt samalla puolella, mutta a häiritsee vielä. Miten siitä pääsee tyylikkäästi eroon? Mitä lausekkeelle ax pitää tehdä, jotta saamme pelkän x:n? Aivan: jaamme lausekkeen, ja samalla koko yhtälön, luvulla a eli kerromme sen luvulla $\frac{1}{a}$. Luvun a pitää tällöin olla nollasta poikkeava (nollalla ei voi jakaa). Kun teemme näin, saamme:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Valmis. Toinen esimerkki:

$$2ax-3bx=10a$$

Taas meidän pitää ratkaista x. Tuntematonta sisältävät termit ovat jo vasemmalla puolella, joten työtä on vähän vähemmän. Hankaluutena on kuitenkin se, että tuntematonta sisältäviä termejä on kaksi. Ratkaisemme tilanteen yhteisen tekijän erottamisella. Erotamme yhtälön vasemmalta puolelta x:n ja saamme:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Edellisessä esimerkissä meillä oli lauseke ax ja halusimme saada pelkän x:n, joten kerroimme koko yhtälön luvulla $\frac{1}{a}$. Nyt yhtälössä on lauseke x(2a − 3b) ja haluamme taas tietää x:n. Teemme samoin: jaamme koko yhtälön lausekkeella (2a − 3b). Älä pelkää, yhtälön voi todella jakaa koko sulkulausekkeella, kunhan 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Murtoluvut

Jos meillä on murtolukuja sisältävä lauseke, käytämme samoja yhtälön muunnoksia. Täytyy vain varoa, ettei vahingossa jaeta tai kerrota nollalla. Esimerkki:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Haluamme ratkaista x:n. Kerromme koko yhtälön x:llä. Meidän täytyy vain lisätä oletus x ≠ 0. Se pätee joka tapauksessa, koska yhtälössä on murtoluku $\frac{a}{x}$ ja x on nimittäjässä, eikä nollalla voi jakaa. Saamme yhtälön:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Tuntematonta ratkaistaessa käytä siis tavallisia yhtäpitäviä yhtälön muunnoksia.