Pascalin kolmio

Pascalin kolmio muodostuu luvuista, ja siinä jokin kahden luvun alapuolella oleva luku on yhtä suuri kuin niiden summa. Rakennetaan tällainen Pascalin kolmio ja katsotaan sitten, mihin kaikkeen siitä voi olla hyötyä.

Miten Pascalin kolmio rakennetaan

Kirjoitamme kolmiomme reunoille pelkkiä ykkösiä ja täytämme kolmion sisäosan toistaiseksi kysymysmerkeillä:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Lasketaan nyt ensimmäinen kysymysmerkki: lasketaan yhteen sen yläpuolella olevat kaksi lukua, ja saamme 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Samoin lasketaan kysymysmerkit seuraavalta riviltä. Ensin saamme 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Ja sitten saamme 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Näin jatkamme eteenpäin, ja jokaisen uuden rivin myötä saamme lisää Pascalin kolmiota:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Pascalin kolmio on tietysti ääretön, voimme luoda yhä uusia rivejä. Aina kuitenkin pätee, että reunoilla on ykkösiä ja kolmion sisällä on lukuja, jotka ovat syntyneet kyseisen luvun yläpuolella olevien lukujen summana. Esimerkiksi viimeisen rivin luku 15 syntyi sen yläpuolella olevien lukujen 5 ja 10 summana.

Pascalin kolmion perusominaisuudet

Ensimmäisen perusominaisuuden olemme jo maininneet: kolmion reunoilla on aina ykkösiä:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

”Toisella vinorivillä” ovat aina kaikki positiiviset kokonaisluvut:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Huomasitko muuten, että Pascalin kolmio on symmetrinen? Jokainen rivi on sama, luitpa sen vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle.

Kolmioluvut

Kolmannella vinorivillä meillä on luvut 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Mikä niissä on mielenkiintoista? Näitä lukuja kutsutaan kolmioluvuiksi. Kuvittele, että sinulla on useita ympyröitä ja haluaisit asettaa ne kolmion muotoon. Montako ympyrää tarvitsisit? Katso vaikka seuraavaa kuvaa:

Näemme, että kolmioon, jonka sivu on 1, tarvitsemme tasan yhden ympyrän. Sivulle, jonka pituus on kaksi, tarvitsemme kolme ympyrää, pituudelle kolme kuusi ympyrää ja pituudelle neljä kymmenen ympyrää. Tarvitsemamme ympyröiden määrä on aina jokin kolmioluku, jonka löydämme Pascalin kolmiosta.

Rivien summat

Entä jos yrittäisimme laskea yhteen jokaisen Pascalin kolmion rivin?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Näemme, että jokaisen rivin summa on kaksi kertaa edellisen rivin summa. Kaikki summat ovat siis luvun kaksi potensseja. Jos merkitsemme ylimmän rivin riviksi nolla, voimme kirjoittaa, että Pascalin kolmion n:nnen rivin summa on 2ⁿ.

Alkuluvut

Merkitään kolmion ylin rivi riviksi nolla. Tällöin pätee, että jos valitsemme jonkin n:nnen rivin, missä n on alkuluku, kaikki tämän rivin luvut ovat jaollisia juuri luvulla n (paitsi reunojen ykköset).

Otetaan esimerkiksi n = 5. Luku viisi on alkuluku. Viides rivi näyttää tältä:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Jokainen näistä korostetuista luvuista on jaollinen luvulla viisi.

Binomilause

Tunnet varmasti kaavat lausekkeille (a + b)² ja (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Huomaamme, että eri termien kertoimet vastaavat Pascalin kolmion lukuja. Katsotaan esimerkiksi lauseketta

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Kirjoitetaan ensin termeihin a³ ja b³ kertominen ykkösellä, jotta asia on selvempi:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Nyt näemme, että termien kertoimet ovat samat kuin Pascalin kolmion kolmas rivi (jos ylin rivi lasketaan nollanneksi):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Tätä ilmiötä käsitellään kuitenkin erikseen binomilausetta koskevassa artikkelissa.