✖

Bilangan asli

Bilangan asli adalah bilangan yang paling sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan asli merupakan bilangan bulat positif, yaitu 1, 2, 3, 4, …

Notasi

Bilangan asli membentuk sebuah himpunan yang berisi bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, … Himpunan ini biasanya dilambangkan dengan huruf N yang kaki pertamanya bergaris ganda, seperti ini: ℕ. Lambang ini berasal dari kata bahasa Inggris “naturals”.

Kadang-kadang himpunan bilangan asli dianggap memuat nol juga. Jika perlu dibedakan, biasanya lambang ℕ dipakai untuk himpunan tanpa nol. Jika nol ingin disertakan, nol ditambahkan sebagai indeks bawah seperti ini: ℕ0. Bilangan asli beserta nol disebut juga bilangan cacah. Untuk menegaskan bahwa yang dimaksud adalah bilangan asli tanpa nol, sering pula dipakai lambang dengan tanda plus: ℕ+.

Bilangan asli terutama dipakai untuk menyatakan banyaknya sesuatu (“di rumah ada tiga kursi”, “di taman ada tiga puluh bangku”, …) dan untuk menyatakan urutan (“manusia pertama di Bulan”, “Kanada adalah negara terluas kedua di dunia”, …).

Sifat-sifat

Bilangan asli memiliki beberapa sifat menarik:

  1. Himpunan bilangan asli merupakan himpunan tak hingga, tetapi terhitung: semua bilangan asli dapat disusun menjadi sebuah barisan.
  • Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Artinya, jika dua bilangan asli mana pun dijumlahkan atau dikalikan, hasilnya juga bilangan asli.
  • Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan, karena jika bilangan yang lebih kecil dikurangi bilangan yang lebih besar, hasilnya bilangan negatif.
  • Bilangan asli juga tidak tertutup terhadap pembagian. Misalnya, 7/2 bukan bilangan asli.

Pembagian bersisa

Pada bagian sebelumnya kita sudah melihat bahwa bilangan asli tidak tertutup terhadap pembagian. Namun, kita dapat mendefinisikan operasi pembagian bersisa, yang tentu sudah kamu kenal. Jika 7/2 dihitung biasa, hasilnya 3,5. Dengan pembagian bersisa, diperoleh hasil bagi 3 dan sisa 1. Jadi, jika 3 · 2 ditambah sisanya, kita kembali mendapat 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Bilangan asli memang tidak tertutup terhadap operasi ini, tetapi bilangan asli beserta nol (bilangan cacah) tertutup. Hasil bagi maupun sisanya selalu termasuk himpunan ℕ0.

Definisi pembagian bersisa adalah sebagai berikut:

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

Dalam definisi ini, kita membagi a:b. Bilangan r disebut sisa pembagian dan q disebut hasil bagi. Apa arti syarat-syaratnya? Kita bekerja dengan bilangan asli beserta nol. Namun, karena kita tidak boleh membagi dengan nol, b dipilih dari himpunan tanpa nol.

Sebagai contoh, untuk pembagian 19 : 5 berlaku a = 19 dan b = 5. Bentuk uraiannya seperti ini:

19=5⋅3+4

Jadi, q = 3 adalah hasil bagi dan r = 4 adalah sisanya.

Tautan