Integrale indefinito

Il processo di integrazione di una funzione è l’inverso del processo di derivazione.

Primitiva

Cominciamo con un problema facile. Data la funzione f(x) = 2x, cerchiamo una funzione F che, derivata, sia uguale alla funzione f. Scritto in modo formale, cerchiamo una funzione F tale che F′ = f.

Dalle formule fondamentali per il calcolo delle derivate sappiamo che si tratta della funzione F(x) = x². La derivata della funzione x² è proprio 2x. Resta da chiarire se questa sia l’unica funzione che soddisfa la condizione.

La risposta è no: se alla funzione x² sommiamo una qualsiasi costante reale, otteniamo ancora, dopo la derivazione, la funzione 2x, perché la derivata di una costante è zero. Ogni funzione della forma x² + c, dove c è una costante reale, può essere considerata una funzione F come quella che cerchiamo.

Possiamo generalizzare il problema. Data una funzione reale f, cerchiamo una funzione F per la quale vale F′(x) = f(x) per ogni x del dominio Dom f, oppure di un certo intervallo contenuto nel dominio. Questa funzione non è necessariamente determinata in modo unico; d’altra parte, può anche non esistere affatto.

Chiamiamo questa funzione F primitiva della funzione f. La scriviamo così:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

La funzione f si chiama funzione integranda, il processo di ricerca della primitiva si chiama integrazione. L’espressione dx indica rispetto a quale variabile integriamo. Se scriviamo l’esercizio così

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

vogliamo trovare una primitiva della funzione 4x³, integrando rispetto alla variabile x. Il risultato può quindi essere la funzione x⁴, che derivata dà proprio 4x³. Naturalmente a questa funzione possiamo sommare una qualsiasi costante reale.

Si può dimostrare che una primitiva o non esiste, oppure ha sempre la forma F(x) + c, dove c è una costante reale: in tal caso ce ne sono infinite, perché le costanti reali sono infinite. Se quindi troviamo una funzione F(x), siamo in grado di generare tutte le primitive. Inoltre nessun’altra funzione, che non otteniamo in questo modo, è una primitiva della funzione data.

Ancora due parole sull’espressione dx. Sembra molto misteriosa, ma indica semplicemente rispetto a quale variabile integriamo. Per esempio, se abbiamo l’integrale

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

significa che integriamo rispetto alla variabile b e le altre lettere a e c si comportano come costanti. Cioè si comportano esattamente come se al loro posto ci fossero dei numeri.

Integrazione delle funzioni elementari

Possiamo ricavare facilmente le formule per il calcolo delle primitive di alcune funzioni elementari. In tutto l’articolo supponiamo che c ∈ ℝ.

Cominciamo con la funzione f(x) = 0, la funzione nulla. Quale funzione ha derivata uguale a zero? Qualsiasi funzione che contiene solo una costante:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Poi la funzione f(x) = 1. Sappiamo che x′ = 1, quindi l’integrale di uno è

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Il prossimo caso è la funzione f(x) = x. Quale funzione dobbiamo derivare per ottenere come risultato x? Se deriviamo x², otteniamo 2x. Ci siamo quasi: basta dividere per due. Se quindi deriviamo (x²)/2, otteniamo proprio x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Se generalizziamo alla funzione xⁿ, dove n ∈ ℝ, otteniamo la formula:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Osserva che questa formula non vale per n = −1, perché dovremmo dividere per zero, e questo non si può fare. Per n = −1 otteniamo la funzione f(x) = x⁻¹, cioè la funzione 1/x. Quale funzione dobbiamo derivare per ottenere 1/x? È il logaritmo.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Il problema è che il logaritmo è definito solo per i numeri reali positivi, quindi questa formula non vale per tutti gli x di Dom f. Vale però nell’intervallo (0; +∞). Per l’intervallo (−∞; 0) basta cambiare il segno dell’argomento del logaritmo: ln(−x). Mettendo insieme i due casi possiamo scrivere

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Questa formula vale per tutti gli x ∈ Dom f. Altri integrali, per esempio quelli delle funzioni goniometriche, li trovi nella tabella seguente:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{per }a>0,a\ne 1\\ \int \mathrm{sen}x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \mathrm{sen}x+c\end{array}$$

Integrale di una somma

Calcolare le derivate di una funzione è per lo più abbastanza semplice e – come si dice – lo sa fare anche una scimmia ammaestrata, perché di solito basta seguire direttamente le formule. Per gli integrali la situazione è diversa. I procedimenti per calcolarli sono alquanto più complicati, perciò trovare un integrale è molto più difficile che calcolare una derivata. Dipende soprattutto dal fatto che abbiamo una formula comoda per l’integrale di una somma, ma non per quello di un prodotto.

Proviamo a calcolare questo integrale:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Come possiamo calcolarlo? Ci serve una funzione che derivata dia x e poi un’altra funzione che dia 1. Dalle formule sappiamo già che sono le funzioni (x²)/2 e x. Se le sommiamo, otteniamo f(x) = (x²)/2 + x. Derivando questa funzione otteniamo x + 1. Abbiamo così il risultato:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Durante il calcolo abbiamo usato una proprietà: l’integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. Cioè

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Vale anche per la sottrazione:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Per questo abbiamo potuto scrivere l’esempio precedente così:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Raccoglimento della costante

Una proprietà simile vale anche per il raccoglimento di una costante davanti all’integrale. Se abbiamo un integrale della forma:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

dove a è una costante reale, possiamo raccogliere questa costante, cioè portarla fuori dal segno di integrale:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Esempio

Calcola l’integrale:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Come primo passo lo scomponiamo in tre integrali:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Risolviamo gli integrali uno alla volta. Il primo si risolve direttamente con la formula per le potenze xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Nel secondo integrale raccogliamo prima il sei:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

L’integrale di x è di nuovo un integrale immediato, ed è uguale a (x²)/2. Otteniamo quindi:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Anche nell’ultimo integrale raccogliamo prima 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

E anche questo è di nuovo un integrale immediato:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Sommiamo questi integrali parziali e abbiamo il risultato:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Ancora un’osservazione: in ogni integrale parziale abbiamo ottenuto una costante c, perciò nella somma dovremmo scrivere nel risultato +3c al posto di +c. Tuttavia c è una costante reale arbitraria, quindi 3c è di nuovo un certo numero reale. Potremmo sostituire c negli integrali parziali con c₁, c₂, c₃ e poi dire che c = c₁ + c₂ + c₃.