Successioni

Una successione è una funzione il cui dominio è l’insieme dei numeri naturali diversi da zero. Una successione può essere infinita, se il suo dominio è l’intero insieme dei numeri naturali, oppure finita, se il suo dominio è soltanto un sottoinsieme finito dei numeri naturali. Se non si dice espressamente che la successione è finita, si intende che sia infinita.

Definizione di successione

Questo capitolo spiega almeno un po’ il senso della definizione di successione. Non è strettamente necessario conoscerlo, se vuoi puoi saltare tutto il capitolo.

L’introduzione ha già rivelato che si tratta di una funzione che ha come dominio i numeri naturali. L’insieme immagine può essere un insieme qualsiasi, ma qui supporremo l’insieme dei numeri reali. Che cosa significa? Il cambiamento più visibile riguarda il grafico: non sarà una linea continua, come accade di solito con le funzioni ordinarie, ma ci saranno soltanto singoli punti isolati e sparsi, quelli della successione.

Una successione può essere per esempio l’elenco di numeri 1, 3, 5, 7, 9, 11, … È una successione definita in modo abbastanza chiaro e tutti dovrebbero capire come continua. Poiché si tratta di una funzione, la tabella delle corrispondenze di questa successione sarebbe fatta così:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

I numeri della prima colonna (valori del dominio) indicano quindi la posizione del numero nella successione. Per esempio, nella nostra semplice successione il numero cinque è in terza posizione, e lo dice anche la tabella. In quarta posizione c’è il numero sette, in prima l’uno e così via. Ne segue anche che il dominio di una successione finita p dovrebbe essere un insieme della forma

$$\mathrm{Dom}p=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

perché si tratti davvero di posizioni e nessuna posizione venga saltata. Per esempio l’insieme

$$\mathrm{Dom}p=\{1,2,3,5,7\}$$

non va bene come dominio di una successione, perché mancano il quarto e il sesto elemento.

Una successione esprime dunque il fatto che i suoi elementi si possono ordinare in qualche modo: ogni elemento, tranne il primo e l’ultimo, ha un predecessore e un successore. È una differenza enorme rispetto alle funzioni reali, per le quali nulla di simile vale. Se prendiamo la funzione f(x) = 2x, quale valore segue f(5/2)? Non lo sappiamo: il risultato è un numero reale e i numeri reali non hanno un successore.

Come si scrive una successione

Sappiamo già che – detto in modo semplice – una successione è un elenco numerato di numeri. Vediamo ora come possiamo scriverla. In genere indichiamo la successione con una lettera minuscola con un pedice, per esempio a_i.

Il primo modo è l’elenco di tutti i valori della successione. Ne abbiamo già visto un esempio nel capitolo precedente. L’elenco può essere finito o infinito:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Nota: non sono sicuro di quali parentesi si usino di solito per le successioni, non ho trovato una convenzione unica. Io probabilmente non userei le parentesi graffe, perché indicano gli insiemi, in cui l’ordine non conta, mentre nelle successioni l’ordine dei termini conta.

Il secondo modo è la formula per l’n-esimo termine della successione. Per esempio, la successione a_n di prima conteneva tutti i numeri pari. Possiamo esprimerla con la formula

$$a_n=2n.$$

L’indice n ci dice quale elemento della successione stiamo calcolando. Quindi, se vogliamo il primo elemento, ci serve a₁, se vogliamo il settimo, a₇. Il settimo elemento si calcola poi sostituendo nella formula.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Questa scrittura è comoda perché permette di calcolare subito qualsiasi elemento della successione. Un’altra possibilità è la scrittura con una definizione per ricorrenza. La definizione per ricorrenza ci permette di calcolare il termine successivo, se conosciamo quello attuale. In altre parole, se conosciamo l’elemento a_n, ci permette di calcolare l’elemento a_{n + 1}.

Per assegnare una successione per ricorrenza servono due informazioni: qual è il primo elemento e la regola per calcolare l’elemento di posto (n + 1). Se volessimo assegnare per ricorrenza la successione dei numeri naturali pari, potremmo farlo così:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Come si calcola adesso? Sappiamo che a₁ è uguale a due. Ora al posto di n sostituiamo uno e quindi a₂ si calcola sommando due ad a₁. Otteniamo quattro, il secondo numero pari. E così via.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

La definizione per ricorrenza è adatta quando ci serve generare una parte abbastanza lunga della successione. Non è invece adatta quando vogliamo calcolare un elemento preciso, perché per calcolare il centesimo numero pari dovremmo prima calcolare tutti i 99 numeri pari che lo precedono.

L’ultima possibilità è assegnare la successione tramite un grafico.

Ancora una precisazione: una successione non deve per forza avere una regola semplice, non deve essere un elenco di numeri «ragionevole». Anche questo elenco di numeri è una successione, anche se a prima vista non ha alcun senso più profondo:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Grafico di una successione

I grafici delle successioni sono diversi da quelli delle comuni funzioni reali. Poiché il loro dominio è formato dai numeri naturali, il grafico è costituito da punti isolati.

Progressione aritmetica

La progressione aritmetica è una successione semplice, in cui tra i singoli termini c’è una differenza costante. Ogni elemento successivo è per esempio maggiore di tre, oppure minore di diciassette. Questa differenza costante tra i singoli elementi si chiama ragione (o differenza) e si indica con d. Nel primo caso la ragione sarebbe tre, nel secondo meno diciassette e per la successione dei numeri pari sarebbe due. Con una formula la progressione aritmetica si potrebbe quindi scrivere così:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

La formula generale per calcolare l’n-esimo termine di una progressione aritmetica è poi

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Prendiamo di nuovo, come esempio, i numeri pari, in cui la ragione è due e anche il primo numero pari è due. Allora il secondo numero pari si ottiene sommando due al primo. Se sommiamo ancora una volta due, otteniamo il terzo numero pari.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Se volessimo calcolare per esempio il settimo numero pari, sostituiremmo nella formula generale così:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Come si capisce se una successione è una progressione aritmetica? Sottraiamo la formula per l’n-esimo termine dalla formula per il termine di posto (n + 1) e, se otteniamo la ragione, si tratta di una progressione aritmetica. Prendiamo per esempio la successione

$$a_n=2n+7.$$

È una progressione aritmetica? Cominciamo esprimendo il termine di posto (n + 1):

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Ora sottraiamo le due espressioni:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Vediamo che dopo la sottrazione abbiamo ottenuto d = 2, quindi si tratta di una progressione aritmetica di ragione due.

Somma dei termini di una progressione aritmetica

Spesso dobbiamo trovare la somma di alcuni dei primi termini di una progressione aritmetica. Come si fa? Intuitivamente più o meno così. Restiamo ai numeri pari. Qual è la somma dei primi tre numeri pari? Cioè dei numeri 2, 4 e 6. Possiamo naturalmente sommarli uno dopo l’altro, ma non vogliamo farlo: vogliamo una formula.

Modifichiamo la successione così: al primo elemento sommiamo due e dall’ultimo sottraiamo due. Otteniamo 4, 4, 4. Vediamo che abbiamo tre numeri uguali, quindi basta moltiplicare il quattro per il numero dei termini, cioè per tre. Quindi 4 · 3 = 12.

Con cinque elementi sarebbe così: 2, 4, 6, 8, 10. Agli elementi estremi sommiamo e sottraiamo quattro, al secondo e al penultimo due.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Anche qui basta moltiplicare 6 · 5 = 30. Che cosa vediamo? Moltiplichiamo sempre il numero dei termini della successione per il termine centrale. Nella successione 2, 4, 6 al centro c’era il quattro e nella successione 2, 4, 6, 8, 10 al centro c’era il 6. Come si calcola in generale l’elemento centrale (indichiamolo con p)? Lo calcoliamo come media aritmetica del primo e dell’ultimo termine della successione, cioè

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Per esempio, per la seconda successione

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

La formula finale per la somma dei primi n termini della successione a_n sarebbe quindi

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

La formula vale anche per un numero pari di elementi, benché per ricavarla abbiamo usato soltanto un numero dispari di elementi.

Come calcolare la ragione

Come si calcola la ragione se si conoscono due termini della successione? Restiamo ai numeri pari. Supponiamo di conoscere questi due termini della successione

$$a_3=6,a_7=14.$$

Come calcoliamo la ragione? Per prima cosa calcoliamo la differenza tra questi due elementi:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Ora basta dividere questo risultato per il numero di passi tra i due elementi che conosciamo, cioè per la differenza dei loro indici:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

La ragione è due. La formula finale per calcolare la ragione d, se conosciamo gli elementi a_k e a_l della successione:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Il grafico di una progressione aritmetica mostra una crescita costante o una diminuzione costante: i punti isolati del grafico stanno su un’unica retta.

Progressione geometrica

La progressione geometrica si distingue da quella aritmetica perché due termini consecutivi non hanno la stessa differenza, ma lo stesso quoziente. Questo quoziente non si chiama differenza come nella progressione aritmetica, ma ragione (la indichiamo con q). Potremmo avere per esempio una successione in cui q = 10 e il primo elemento è 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

In generale vale quindi la formula:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

La formula per il termine generale di una progressione geometrica sarebbe questa:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Per esempio, il terzo elemento della successione precedente si calcolerebbe così:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Le progressioni geometriche si possono dividere ancora in due gruppi, a seconda della ragione. Se infatti il valore assoluto della ragione è minore di uno, l’intera successione si avvicina a zero. Una successione di questo tipo si chiama convergente. Se invece il valore assoluto della ragione è almeno uno, la successione non si avvicina a zero e si dice divergente. Per una successione convergente vale poi una formula semplice per la somma dell’intera serie (vale solo per quelle convergenti, perché una successione divergente non ha una somma finita):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

La formula per calcolare la somma dei primi i elementi di una progressione geometrica a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

La dimostrazione della formula puoi leggerla su Wikipedia.

Il grafico di una progressione geometrica, tranne nel caso in cui la ragione sia uguale a uno o a zero, è un insieme di punti isolati che non stanno su un’unica retta. Il grafico tipico di una progressione geometrica è questo:

Se la ragione è negativa, il grafico ha due rami: