Esercizi avanzati sulle derivate

Alcuni esercizi su derivate più complesse del semplice lavoro con le formule di base. Se ti serve la spiegazione della definizione di derivata, passa all’articolo sulla derivata di una funzione.

Primo esercizio

Cominciamo con qualcosa di non ancora troppo difficile.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Dalle formule per le derivate sappiamo che la derivata della funzione e^x è ancora e^x. Purtroppo questo semplice procedimento non lo possiamo usare del tutto direttamente in questo esercizio, perché nell’esponente non c’è solo x ma −x, quindi dobbiamo trattare la funzione data come una funzione composta. Nel primo passo ci aspetta comunque la scomposizione con la formula del prodotto.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Il polinomio di sinistra lo deriviamo con la formula classica, il resto lo lasciamo invariato:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Ora dobbiamo derivare l’ultima funzione. Come abbiamo detto, è una funzione composta e quindi la deriviamo con la regola della derivata della funzione composta:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

La derivata della nostra funzione sarà quindi questa:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

L’espressione e^−x resta invariata, perché la derivata di e^x è ancora e^x, e nel primo passo della formula deriviamo la funzione esterna lasciando la funzione interna non derivata. Nel secondo passo moltiplichiamo il nostro risultato intermedio per la derivata dell’argomento della funzione, cioè della funzione −x. La derivata della funzione −x è −1. Ora basta sostituire il risultato nell’espressione precedente:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Secondo esercizio

Testo del secondo esercizio:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Qui abbiamo una frazione: al numeratore c’è una funzione e al denominatore un’altra funzione. Quindi nel primo passo deriviamo con la formula del quoziente. Applicandola otteniamo:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Procediamo dalla fine: deriviamo per prima la tangente, perché possiamo derivarla facilmente con la formula di base. Vale

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Dopo aver applicato questa formula al numeratore della frazione otteniamo

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Ora dobbiamo derivare il logaritmo. Purtroppo dentro il logaritmo c’è un’altra funzione annidata, quindi otteniamo una funzione composta e dobbiamo derivare il logaritmo in modo più complesso, come funzione composta. La derivata del logaritmo stesso è 1/x, dove però al posto di x sostituiamo l’argomento del logaritmo, cioè il coseno. Dobbiamo poi moltiplicare ancora per la derivata dell’argomento, cioè per la derivata del coseno. La derivata del logaritmo sarà quindi questa:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \mathrm{sen}x=-\frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}$$

Abbiamo ottenuto una frazione piuttosto bella. Se ricordi bene la goniometria, sai che questa frazione è uguale alla tangente. Quindi possiamo scrivere che il tutto è uguale a meno tangente:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Lo sostituiamo quindi nel risultato precedente:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Al numeratore abbiamo due volte la tangente, quindi possiamo semplicemente elevarla al quadrato. Il logaritmo possiamo spostarlo al numeratore della frazione seguente.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Ora possiamo separare il numeratore e ottenere due frazioni

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nella prima frazione il numeratore è uguale al denominatore, quindi otteniamo uno. Nella seconda frazione possiamo eliminare la frazione al numeratore moltiplicando numeratore e denominatore per l’espressione cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

La tangente ora possiamo scriverla come quoziente sen(x)/cos(x). Poiché però abbiamo la tangente al quadrato, otteniamo anche nella frazione numeratore e denominatore al quadrato. Poi possiamo subito semplificare cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\mathrm{sen}}^{2}x}-1.$$

Questo è il risultato finale della derivata.

Terzo esercizio

Calcola la derivata della funzione

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Se non è chiaro a prima vista: sono tutti esponenti, cioè «x elevato a x elevato a un mezzo». Nel primo passo eseguiamo anzitutto una trasformazione secondo la formula:

$$x=e^{\ln x}$$

Con questa formula scomponiamo la prima x del nostro esercizio:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Ora applichiamo la formula per lavorare con le potenze:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Eliminiamo le parentesi e mettiamo nel prodotto l’esponente più alto con il logaritmo:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Ora abbiamo la funzione in una forma in cui sarà più comodo derivare. Si tratta di una funzione composta e come tale la deriveremo. La prima funzione è e^x, in cui al posto di x sostituiamo l’intero esponente, e la seconda funzione sta nell’esponente. Scomponendo otteniamo quindi:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

La parentesi la deriveremo come prodotto, quindi applichiamo la formula del prodotto.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

La derivata del logaritmo è 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Ora deriviamo la seconda espressione, secondo la formula classica per derivare le funzioni potenza. Vale quindi:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Sostituiamo questo risultato nel nostro calcolo:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Possiamo ancora modificare il primo prodotto, di nuovo con le formule che lavorano con le potenze:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Riscriviamo l’espressione precedente con il calcolo appena fatto:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

E infine portiamo il logaritmo al numeratore della frazione:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

La prima frazione possiamo moltiplicarla (numeratore e denominatore) per due, e poi sommare le frazioni:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Ora possiamo tornare all’intera derivata:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Sostituiamo di nuovo e^{ln x} con x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Così abbiamo ottenuto il risultato finale.