Esercizi introduttivi sulle derivate

In questo articolo vediamo prima alcune formule utili per lavorare con le derivate e poi proviamo a derivare alcune funzioni, semplici e complesse. Se non cerchi esercizi svolti ma ti serve la spiegazione della definizione di derivata, passa all’articolo sulla derivata di una funzione.

Derivata dei polinomi

Cominciamo con alcune formule che ci serviranno per calcolare le derivate di funzioni di forma polinomiale. A sinistra c’è la funzione elementare che vogliamo derivare, a destra la funzione ottenuta dopo la derivazione. Per precisione: c è una costante (già nella prima riga abbiamo quindi la funzione costante) e deriviamo rispetto a x.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

Alcuni esempi concreti:

$f (x) = 5$

Questa è una funzione costante, quindi applichiamo la prima formula e otteniamo:

$f^{'} (x) = 0.$

La funzione lineare f(x) = x ha, per la seconda formula, derivata

$f^{'} (x) = 1,$

e non c’è altro da aggiungere. Proviamo quindi a derivare la funzione

$f (x) = x^{5} .$

Applichiamo l’ultima formula, in cui al posto di c sostituiamo l’esponente, cioè c = 5.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

La formula funziona anche per un esponente negativo, quindi se vogliamo derivare la funzione

$f (x) = x^{- 7},$

otteniamo:

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

Per andare avanti ci serviranno le formule per la somma e il prodotto di funzioni. E se volessimo risalire dalla funzione derivata alla funzione originaria, useremo gli integrali.

Derivata di una somma

Se vogliamo calcolare la derivata di una funzione che contiene espressioni sommate, calcoliamo semplicemente le derivate dei termini e sommiamo i risultati intermedi. Lo scriviamo così:

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

Un esempio semplice: sia f(x) = x + 5. La sua derivata sarà:

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

Abbiamo scomposto la funzione in due funzioni, in questo modo:

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

e abbiamo semplicemente sostituito nella formula. Cioè abbiamo calcolato le derivate delle funzioni f₁ e f₂ e sommato i risultati. Per la sottrazione funziona in modo identico. Un esempio più complesso:

$f (x) = x^{3} + x - 8$

Di nuovo deriviamo i singoli tre termini e lasciamo la somma:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

Derivata di un prodotto

Il prodotto, purtroppo, non si risolve in modo così semplice come la somma: per il prodotto di due funzioni dobbiamo usare una formula un po’ complicata:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

Una funzione banale che contiene una moltiplicazione è, ad esempio,

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

Nella formula del prodotto compaiono due funzioni; da questa unica funzione s(x) le otteniamo così: f(x) = 5 e g(x) = x². Ora basta sostituire:

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

Vediamo che se abbiamo una funzione della forma

$f (x) = a \cdot x^{c},$

dopo la derivazione otteniamo

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1} .$

Possiamo generalizzare questa regola e, al posto del monomio, sostituire una funzione qualsiasi. Quindi per ogni funzione f(x) vale

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x) .$

Come esempio proviamo a derivare questa funzione:

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

All’inizio della derivazione applichiamo subito la regola della somma:

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Le espressioni nei prodotti le scriviamo secondo l’ultima formula citata:

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Deriviamo le espressioni tra parentesi con la regola per la derivata di x^c.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

E infine moltiplichiamo i coefficienti:

$= 15 x^{2} - 14 x .$

Derivata di un quoziente

La derivata di un quoziente è ancora un po’ più complicata di quella di un prodotto. La formula:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Per il resto il procedimento è analogo a quello del prodotto. Quindi subito un esempio:

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

Il numeratore della frazione rappresenta la funzione f(x), il denominatore la funzione g(x). E ora sostituiamo nella formula:

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

Al denominatore abbiamo il denominatore elevato al quadrato, al numeratore la frazione scritta secondo la formula. Ora deriviamo la prima e l’ultima parentesi. Anche qui c’è la regola della somma: la salto e scrivo direttamente il risultato:

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

Questa espressione si potrebbe ancora semplificare, ma qui non è la cosa importante.

Derivate delle funzioni elementari

Ora presentiamo, senza ulteriori dimostrazioni, alcune formule per calcolare la derivata delle funzioni più comuni.

Potenze e logaritmi:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

Nota che la derivata della funzione e^x è ancora e^x: non è un errore di stampa, ma una bella proprietà che è diventata la base di molte e molte barzellette.

Funzioni goniometriche:

$\begin{array}{rcl} (sen x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - sen x \\ (\tan x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (\cot x)^{'} & = & - \frac{1}{{sen}^{2} x} \end{array}$

Un esempio semplice:

$(3 sen x + 2 \ln x)^{'} =$

Le due espressioni sono sommate, quindi basta sommare le derivate delle due espressioni. Ogni espressione contiene all’inizio una costante che moltiplica la funzione che segue: sappiamo che in questo caso basta derivare la funzione e lasciare invariata la costante. Facciamolo:

$= 3 (sen x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

Ora si tratta solo di derivate fondamentali:

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

Derivata di una funzione composta

Dalle proprietà della derivata e dalla sua applicazione nello studio di funzione sappiamo che, a certe condizioni, possiamo avere due funzioni derivabili la cui composizione è ancora una funzione derivabile. Vediamo come calcolare la derivata di una tale funzione composta.

La derivata della funzione composta è probabilmente il concetto più difficile tra queste derivate di base. Le funzioni si possono comporre. Che cos’è una funzione composta puoi approfondirlo negli articoli Che cos’è una funzione o Dominio di una funzione. In parole povere significa che come argomento di una funzione passiamo un’altra funzione. La scrittura simbolica sarebbe h(g(x)). Una funzione concreta può essere, ad esempio,

$f (x) = sen (2 x) .$

Quali due funzioni ci sono? Il seno e poi la funzione interna 2x. A questa funzione f non possiamo applicare direttamente la formula generale per sen(x), perché quella presuppone che nell’argomento ci sia x, non 2x. Il calcolo della derivata di una funzione composta procede quindi così:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

Cioè deriviamo la funzione esterna lasciando invariato l’argomento e moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Nel caso di questo esempio con il seno varrebbe:

$(sen (2 x))^{'} = {sen}^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

L’apice solo sul seno significa che deriviamo soltanto il seno stesso, non l’intera espressione come nell’espressione a sinistra dell’uguale. La derivata del seno è il coseno, quindi al posto del seno scriviamo semplicemente il coseno. E la derivata di 2x è 2:

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

Un altro esempio, un po’ più complesso.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

Qui abbiamo una funzione annidata in più. La funzione esterna è il coseno, quella intermedia è il logaritmo e quella più interna è la potenza x². Procediamo comunque di nuovo secondo la formula. La scriviamo per esteso:

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Deriviamo solo il coseno, l’argomento del coseno lo lasciamo com’è, cioè lasciamo lì tutto il logaritmo. L’intera espressione poi la moltiplichiamo ancora per la derivata dell’argomento, cioè per la derivata del logaritmo. Deriviamo il coseno e otteniamo:

$= - sen (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

L’espressione a destra non è cambiata, abbiamo solo derivato il coseno. Ora ci dedichiamo alla derivata del logaritmo. Anche questa è una funzione composta, quindi applichiamo ricorsivamente la formula della funzione composta. L’espressione di sinistra la ricopiamo semplicemente:

$= - sen (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

Deriviamo il logaritmo e lasciamo invariato il suo argomento, cioè x². Ma l’intera espressione la moltiplichiamo ancora per la derivata dell’argomento, cioè proprio per la derivata di x². La derivata del logaritmo è la frazione 1/x, in cui al posto di x sostituiamo il nostro argomento x², e la derivata di x² è 2x.

$= - sen (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - sen (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 sen (\ln x^{2})}{x} .$

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