Derivata di una funzione

La derivata è un concetto fondamentale del calcolo differenziale e ha un ruolo importante, ad esempio, nello studio di funzione. Da una parte gli studenti la detestano, dall’altra una derivata la calcola anche una scimmia addestrata a dovere. In questo articolo vengono solo descritti e spiegati la definizione di derivata e i concetti collegati. Gli esercizi svolti li trovi negli articoli vicini: esercizi semplici sulle derivate ed esercizi più impegnativi. Il processo inverso della derivazione è l’integrazione.

Che cos’è la derivata

Prima di arrivare alla definizione di derivata, vediamo che cosa ci permette di calcolare e a che cosa può servirci.

Con la derivata di una funzione otteniamo il coefficiente angolare della retta tangente. Sono un bel po’ di parolacce tutte insieme, quindi ripartiamo dall’inizio. In parole semplici, la retta tangente è una retta che tocca il grafico dato in un solo punto. Non è una definizione precisa (quella la trovi, ad esempio, su Wikipedia), ma per ora basta. Osserva ora la figura seguente:

La curva nera è il grafico della funzione y = x². La retta blu è la tangente a questa funzione nel punto D(1; 1), indicato in rosso. In verde è segnato l’angolo α che la tangente forma con l’asse x, più precisamente con il semiasse positivo delle x. Definiamo ora il coefficiente angolare della tangente. In questa figura il coefficiente angolare della tangente è la tangente dell’angolo alfa. La tangente è una classica funzione goniometrica, grazie alla quale possiamo calcolare, ad esempio, angoli e lunghezze dei lati in un triangolo. Quindi il coefficiente angolare della tangente è la tangente dell’angolo che la retta tangente forma con il semiasse positivo delle x. E proprio questo coefficiente angolare lo otteniamo con le derivate.

Distinguiamo inoltre la derivata di una funzione in un punto e la derivata di una funzione. La derivata di una funzione in un punto rappresenta proprio il coefficiente angolare della tangente in quel punto. La derivata di una funzione è invece un’altra funzione, che assegna il coefficiente angolare della tangente a un generico punto x. Un esempio segue più avanti.

Motivazione

Con la derivata sappiamo quindi calcolare i coefficienti angolari delle tangenti. A che cosa può servire? Osserva la figura seguente:

Nella figura c’è di nuovo la funzione y = x² con quattro tangenti. Due verdi e due blu. Nota che la funzione y = x² è decrescente nell’intervallo (−∞; 0), mentre nell’intervallo (0; +∞) è crescente. Che cosa vale però, allo stesso tempo, per le loro tangenti, ossia per l’angolo che formano con il semiasse positivo? Le tangenti blu, che passano per punti appartenenti all’intervallo in cui la funzione cresce, formano con l’asse un angolo minore di 90 gradi. Le tangenti verdi, invece, formano con l’asse un angolo maggiore di 90 gradi. Come si riflette questo sui coefficienti angolari delle tangenti?

Per rispondere dobbiamo conoscere il comportamento della funzione tangente. Dal grafico seguente vediamo che se l’angolo è minore di 90 gradi, il valore della tangente è positivo (parte evidenziata in blu); se invece l’angolo è maggiore di 90 gradi ma minore di 180 gradi (cioè minore di π radianti), il valore della tangente è negativo. Che conclusione possiamo trarre? Se il coefficiente angolare della tangente in un punto (ricorda che il coefficiente angolare è proprio la tangente dell’angolo) è positivo, la funzione in quel punto è crescente; se è negativo, è decrescente.

Definizione

Prima di arrivare alla definizione vera e propria di derivata dobbiamo fare un lungo percorso. Ci servirà il limite di una funzione. Se non padroneggi i limiti, torna a studiarli o passa direttamente alle formule: il resto della spiegazione probabilmente non fa per te.

Prima di passare al coefficiente angolare della tangente, ci fermiamo su quello della secante, che è più semplice. La secante è una retta che interseca il grafico in due punti. Proviamo a ricavare come calcolare questo coefficiente angolare. Guarda la figura:

Vediamo il grafico della funzione x² + 1 e una secante s che interseca il grafico in due punti (0,5; 1,25) e (2; 5). Questi punti sono evidenziati in blu. Poiché non ci interessano valori concreti, nel grafico sono indicati in modo generico come a e b e f(a) e f(b). Qui f(a) è il valore della funzione f nel punto x = a. Per la nostra funzione x² + 1 nel punto x = 2 vale: 2² + 1 = 5.

Ora si tratta di ricavare come calcolare l’angolo indicato con alfa, cioè l’angolo che la secante forma con l’asse x. Modifichiamo un po’ la figura in modo da ottenere un triangolo: lavorare sarà più comodo.

Che cosa abbiamo fatto? Abbiamo unito con un segmento i punti in cui la secante interseca il grafico della funzione y = x² + 1 e abbiamo completato la figura a un triangolo rettangolo ABC. Che vantaggio ne abbiamo? L’angolo indicato con β ha la stessa ampiezza dell’angolo α (sono angoli corrispondenti). Conosciamo inoltre le lunghezze dei lati AB e BC. Vale |AB| = b − a (è semplicemente la distanza del punto b da a). Analogamente la lunghezza |BC| = f(b) − f(a). Come calcoliamo ora l’ampiezza dell’angolo β, ossia α?

Occorre sapere come si calcola la tangente. La tangente è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente, quindi la tangente dell’angolo alfa (beta) è uguale al rapporto tra la lunghezza del lato BC e quella del lato AB. Lo scriviamo così:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Poiché il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo, con questa formula abbiamo calcolato il coefficiente angolare della secante. Come ci aiuta, però, se vogliamo calcolare quello della tangente? Immagina di avvicinare i punti A e C fino a farli coincidere. L’avvicinamento è illustrato nella figura:

Più avviciniamo il punto di intersezione superiore a quello inferiore, più la secante assomiglia a una tangente. La secante/retta CA originaria era ancora lontana dall’essere una tangente. Avvicinando il punto C al punto A otteniamo, ad esempio, la secante C₁A, che somiglia già di più a una tangente. La secante C₂A le somiglia ancora di più, e così via.

Quando la secante diventa una tangente? Nel momento in cui i due punti di intersezione coincidono, cioè quando per un certo punto C_n vale C_n = A. A quel punto dalla secante abbiamo ottenuto la tangente, che era ciò che volevamo. Resta il problema di come calcolare il coefficiente angolare, perché non possiamo semplicemente sottrarre questi due punti, dato che sono uguali:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Così non funziona, non possiamo calcolarlo in questo modo. Non per niente abbiamo solo avvicinato i punti: ci servirà il limite. Vogliamo ora calcolare il coefficiente angolare della tangente nel punto (a; f(a)) e abbiamo a disposizione i coefficienti angolari di tutte le possibili secanti (quelle sappiamo già calcolarle). Calcoleremo quindi via via i coefficienti angolari delle secanti, avvicinandole in modo da ottenere la tangente. Avvicineremo dunque b ad a. Non possiamo avvicinare i punti fino a farli coincidere, ma possiamo avvicinarli in modo che la loro differenza tenda a zero. Ecco, un limite. Avviciniamo quindi b ad a fino a farli coincidere al limite, cioè calcoliamo il limite per b che tende ad a. Tutto qui, la formula è questa:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Questo limite si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x = a. Ricorda che l’angolo α è uguale all’angolo β. Di solito non usiamo le variabili a e b, ma cerchiamo la derivata nel punto x₀ e avviciniamo il punto x. Possiamo allora scrivere:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Finora, in modo analogo alla continuità di una funzione, abbiamo definito la derivata in un solo punto. Se abbiamo una funzione f(x) derivabile in un intervallo aperto I, i valori di questa derivata definiscono la funzione f′(x), che chiamiamo derivata della funzione.

La derivata si scrive con l’apice, in questo modo:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Puoi incontrare anche un’altra forma di scrittura, con dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Nella formula usata poco fa possiamo quindi sostituire la tangente con la notazione della derivata:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Possiamo definire anche la derivata destra e la derivata sinistra per mezzo dei limiti unilaterali. Per ora non ce ne occupiamo, non è così importante.

Una definizione leggermente diversa

Un’altra definizione di derivata di una funzione in un punto è la seguente:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Come ci arriviamo? Basta modificare un poco la figura da cui siamo partiti. Possiamo infatti esprimere la distanza del punto a dal punto b come h = b − a. Di conseguenza possiamo scrivere il punto b come a + h, perché h è proprio la distanza di b da a. La figura sarebbe questa:

In basso abbiamo i punti a e a + h, sull’asse y invece f(a) e f(a + h). Costruiamo di nuovo il triangolo e calcoliamo la tangente dell’angolo beta. Con la differenza che la lunghezza del lato AB è già calcolata: è proprio h.

Derivata finita e infinita

Anche le derivate possono essere finite o infinite, in modo analogo ai limiti di funzioni. Che cosa significa? La derivata è finita se il suo valore nel punto è uguale a un numero reale. La derivata è infinita se è uguale a più o meno infinito. Come immaginarlo geometricamente? Quando il coefficiente angolare è «infinito»? Partiamo da una domanda più facile: com’è fatta una tangente il cui coefficiente angolare è uguale a un numero molto grande? Dal grafico della tangente (vedi sopra) si vede che se il valore della tangente è alto, l’angolo si avvicina a 90 gradi (se ci muoviamo nell’intervallo (0; 180)).

Se ne potrebbe dedurre che, se in un dato punto la funzione ha derivata infinita, la tangente forma con l’asse x un angolo retto, cioè è perpendicolare ad esso. Ed è proprio così. Com’è fatto il grafico di una tale funzione e in quale punto la tangente è perpendicolare all’asse x? Ad esempio la funzione $y=\sqrt[3]{x}$:

Proprietà fondamentali

• Perché una funzione abbia derivata in un punto, deve essere definita in un intorno di raggio ε di quel punto. Se tale intorno non esistesse, non potremmo calcolare i limiti attraverso i quali è definita la derivata.

• L’unicità del limite (o la sua non esistenza) implica che, se in un punto esiste la derivata, essa è unica. Nessuna funzione ha in un punto più derivate: ne ha una sola oppure nessuna.

• Analogamente ai limiti unilaterali, se una funzione ha derivata in un punto, la derivata sinistra e la derivata destra devono essere uguali.

• A volte ci serve la cosiddetta derivata seconda. Non è niente di complicato: si deriva la funzione una volta e poi si deriva ancora il risultato. Si indica con due apici: f''(x) = (f'(x))'.

• Una proprietà importante: se una funzione ha derivata in un punto, allora in quel punto è continua. Deriva di nuovo dalle proprietà dei limiti. Attenzione, non vale il viceversa. Se una funzione è continua in un dato punto, non significa che lì sia derivabile. Un esempio tipico è la funzione f(x) = |x|. Il grafico ha un punto angoloso e in quel punto non si può calcolare il coefficiente angolare della tangente. Puoi provare a calcolare la derivata sinistra e la derivata destra: saranno diverse.

  

• Con le derivate si possono calcolare anche alcuni limiti, a questo serve il teorema di de L’Hôpital.

Link utili

Nell’articolo accanto trovi un elenco di formule per lavorare con le derivate. Altre le trovi su Wikipedia.

Puoi anche guardare gli esercizi svolti sulle derivate e poi, volendo, gli esercizi più difficili sulle derivate.

Se ti serve controllare in fretta il calcolo di una derivata, puoi usare uno strumento matematico, come Wolfram|Alpha. Basta scrivere nel campo di input, per esempio, «derive x^2+6x» e Wolfram calcola la derivata della funzione data.