Limite di una funzione

Il limite di una funzione è uno dei concetti più importanti dell’analisi matematica. Descrive il comportamento di una funzione vicino a un certo punto e grazie a esso possiamo definire, per esempio, la continuità di una funzione. Il limite ci aiuta a capire come si comporta la funzione anche nei punti in cui non è affatto definita.

Intorno di un punto

Cominciamo con la definizione di intorno di raggio ε di un punto sull’insieme dei numeri reali. Sia r ∈ ℝ. L’intorno di raggio ϵ > 0 di questo punto è l’intervallo aperto (r − ϵ; r + ϵ). L’intorno bucato è lo stesso intorno, ma senza il punto r. In simboli, l’intorno bucato è (r − ϵ; r) ∪ (r; r + ϵ). L’intorno di raggio ε del punto a si indica con U(a, ϵ), l’intorno bucato con R(a, ϵ).

Come esempio prendiamo il numero cinque e il suo intorno di raggio 2. Calcoliamo quindi U(5, 2), cioè l’intervallo (5 − 2; 5 + 2) = (3; 7). L’intorno bucato sarebbe R(5, 2) = (3; 5) ∪ (5; 7): lo stesso intorno, ma senza il punto cinque. Ecco la rappresentazione grafica dell’intorno di raggio 2 del punto 5:

L’intorno bucato di raggio 2 avrebbe lo stesso aspetto, solo che non includerebbe il punto blu 5.

Punto di accumulazione

Ci serve poi la definizione di punto di accumulazione di un insieme. Un elemento a ∈ ℝ è un punto di accumulazione dell’insieme M ⊆ ℝ se in ogni suo intorno bucato, per quanto piccolo, cade almeno un punto dell’insieme M. Più precisamente:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Esempi: ogni numero reale è un punto di accumulazione dell’insieme dei numeri reali. Se scegliamo il numero 10, in un qualsiasi intorno bucato di questo punto troviamo sempre un numero reale. Per $ϵ=\frac{1}{100}$ otteniamo l’intorno bucato (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). In entrambi gli intervalli si trova qualche numero reale, anzi, ce ne sono infiniti. Quindi, per quanto piccolo sia ϵ, otteniamo sempre intervalli che contengono infiniti numeri reali.

Se come M scegliessimo l’insieme dei numeri naturali, non troveremmo alcun punto di accumulazione. Per esempio, il numero $\frac{1}{2}$ non è un punto di accumulazione, perché per $ϵ=\frac{1}{10}$ otteniamo gli intervalli (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), e nessuno dei due contiene un numero naturale.

L’idea di limite

Cominciamo dalla definizione più semplice: il limite finito in un punto al finito. Prima vediamo che cosa vogliamo calcolare. Guarda il grafico della funzione segno:

Se prendiamo il punto x₁ = 3, il valore della funzione in questo punto è 1. Vale sgn(3) = 1. Inoltre, in tutti i punti «vicini» la funzione ha valore 1, per esempio sgn(2,5) = 1 oppure sgn(3,5) = 1. Se ci avviciniamo al punto x₁ = 3 da sinistra o da destra, i valori della funzione sono sempre uguali a uno.

Ma se prendiamo il punto x₂ = 0, vale sgn(0) = 0, mentre tutti i punti vicini hanno un valore diverso! Per esempio $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ oppure $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. I valori da destra si avvicinano a 1, mentre quelli da sinistra si avvicinano a −1. E alla fine nel punto x₂ = 0 otteniamo il valore 0. Attenzione, trabocchetto! I valori a cui la funzione si avvicina in un punto si chiamano limiti della funzione in quel punto.

Definizione di limite finito in un punto al finito

Sia f una funzione e sia x₀ ∈ ℝ un punto di accumulazione del dominio della funzione f. Diciamo che L ∈ ℝ è il limite della funzione f nel punto x₀ se

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Vediamo ora che cosa significa questa definizione. Punto al finito significa qui che il punto è un numero reale. Più avanti parleremo dei limiti nei punti all’infinito, cioè dei limiti all’infinito. Proviamo a calcolare questo limite:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Per funzioni così semplici il limite della funzione nel punto x₀ è uguale al valore della funzione in quel punto: f(x₀). Più avanti definiremo con precisione che cosa significa «funzione semplice». Ora rappresentiamo tutto in una figura:

La retta nera rappresenta il grafico della funzione $f(x)=\frac{x}{3}$, il punto rosso x₀ è il punto in cui cerchiamo il limite e il punto verde L è il limite ottenuto. Osserva che il limite è rappresentato sull’asse y.

Proseguiamo con la definizione. All’inizio della definizione c’è (∀ϵ > 0) e più avanti compare ϵ in |f(x) − L|<ϵ: è la scrittura matematica del fatto che vogliamo che tutti i valori f(x) distino da L meno di ϵ. Cerchiamo quindi l’intorno di raggio ϵ del punto L sull’asse y. Secondo la definizione possiamo scegliere un qualsiasi ϵ > 0; scegliamo per esempio $ϵ=\frac{3}{10}$. Troviamo sull’asse y i punti che distano da L esattamente ϵ:

Tutti i punti dell’asse y compresi tra queste due linee verdi si trovano nell’intorno di raggio ϵ del punto L. Sono i punti di cui parla la definizione.

La definizione continua con l’espressione (∃δ>0), che viene poi usata in 0<|x − x₀|<δ. Stiamo dicendo che la differenza x − x₀ deve essere minore di δ. Poiché x, x₀ si trovano sull’asse x, rappresenteremo anche il valore δ sull’asse x. L’espressione 0<|x − x₀|<δ ci dice inoltre di prendere tutti gli x che distano da x₀ meno di δ, ma allo stesso tempo più di zero, cioè x ≠ x₀. Questa scrittura indica dunque l’intorno bucato di raggio δ del punto x₀. Possiamo quindi riscrivere in modo equivalente la definizione di limite usando gli intorni:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Torniamo alla definizione precedente e continuiamo il disegno. Per rappresentarla ci serve un’altra parte della definizione:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Quindi per tutti gli x dell’intorno bucato di raggio δ del punto x₀ deve valere… una certa condizione. Aggiungiamo alla figura l’intorno bucato di raggio δ del punto x₀, per esempio per $\delta =\frac{3}{2}$:

Tutti gli x compresi tra le linee rosse tratteggiate appartengono all’intorno di raggio δ di x₀, tranne il punto x₀ stesso. Guardiamo di nuovo la condizione precedente:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Per tutti gli x dell’intorno bucato di raggio δ del punto x₀ deve valere che tutti i valori f(x) si trovino nell’intorno di raggio ϵ del punto L. Prendiamo quindi tutti gli x dell’intorno bucato di raggio δ del punto x₀ e calcoliamo i valori della funzione. Nella figura seguente questi valori sono rappresentati da un segmento blu:

Il punto x₀ non appartiene all’intorno bucato, per questo in quel punto c’è un cerchietto vuoto. La definizione ci dice che per tutti questi punti blu deve valere che si trovino nell’intorno di raggio ϵ del punto L. Con i colori della figura: tutti i punti blu devono trovarsi tra le linee verdi, che rappresentano l’intorno di raggio ϵ. È vero?

Ovviamente no: per esempio per $x=\frac{16}{10}$ otteniamo evidentemente un punto blu che non è tra le linee verdi, cioè non è nell’intorno di raggio ϵ del punto L.

Ma non importa: la definizione dice che per ogni intorno di raggio ϵ del punto L deve esistere un intorno di raggio δ tale che… il resto della condizione. Questo significa che ci basta che esista un solo intorno di raggio δ di questo tipo. $\delta =\frac{3}{2}$ evidentemente non era una buona scelta, ma possiamo provare un altro δ, per esempio $\delta =\frac{1}{2}$. La figura cambierebbe così:

Controlliamo di nuovo se tutti i valori della funzione per tutti gli x dell’intorno bucato di raggio δ del punto x₀ si trovano nell’intorno di raggio ϵ del punto L. In breve: se tutti i punti blu sono tra le linee verdi. Sì, ora lo sono, evviva.

Questo significa che L è il limite della funzione nel punto x₀? Non necessariamente, perché la definizione dice (∀ϵ > 0) …. Finora abbiamo verificato la definizione per un solo ϵ, e ne restano ancora… infiniti.

In altre parole, perché valga davvero $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, dovremmo trovare per ogni intorno di raggio ϵ un intorno di raggio δ tale che valga la condizione precedente. Dalla figura vediamo che un intorno di raggio δ di questo tipo si trova sempre: per esempio, se abbassiamo ϵ a $ϵ=\frac{1}{10}$, possiamo abbassare δ a $\delta =\frac{2}{10}$ e funzionerà:

Per quanto piccolo scegliamo ϵ, dobbiamo sempre trovare un δ tale da portare i valori della funzione nell’intorno di raggio ϵ del limite L.

Dimostrazione del limite finito in un punto al finito

Proviamo a dimostrare davvero il limite precedente. Dalla figura sappiamo già che probabilmente

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

ora proviamo a dimostrarlo matematicamente. Dalla figura potremmo dedurre che se prendiamo sempre come δ lo stesso valore di ϵ, la cosa potrebbe funzionare. Poniamo quindi δ = ϵ. Dobbiamo allora dimostrare

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{per ogni}x\in (x_0-\delta ;x_0)\cup (x_0;x_0+\delta )$$

Poiché abbiamo posto δ = ϵ, sostituiamo tutti i δ con ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{per ogni}x\in (x_0-ϵ;x_0)\cup (x_0;x_0+ϵ)$$

Al posto di L sostituiamo 1 e al posto di x₀ sostituiamo 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{per ogni}x\in (3-ϵ;3)\cup (3;3+ϵ)$$

Ora dobbiamo dimostrare tutte le disuguaglianze. Poiché la funzione $\frac{x}{3}$ è crescente, ci basta verificare gli estremi 3 − ϵ e 3 + ϵ. Cominciamo con 3 − ϵ: sostituiamo nella funzione $\frac{x}{3}$ il valore 3 − ϵ e mostriamo che questo valore soddisfa sempre le disuguaglianze 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Lo stesso con 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Un limite sbagliato

Vediamo ora che cosa succederebbe se pensassimo che il limite della funzione per x che tende a tre valga un mezzo. Sceglieremmo un piccolo intorno di raggio epsilon:

A questo punto non possiamo più trovare un intorno di raggio delta del punto x₀ tale che tutti i suoi valori della funzione stiano tra queste linee verdi. Vediamo che per l’intorno di raggio δ scelto tutti i punti blu sono fuori dalle linee verdi. Se ingrandissimo l’intorno di raggio δ, aumenteremmo soltanto il numero di punti blu che non riusciamo a portare tra le linee verdi.

Limite della funzione segno

La funzione segno è una funzione bellissima, che probabilmente ti farà girare la testa. Ecco il grafico:

Il grafico non è del tutto chiaro, quindi la descrizione a parole: se x è negativo, la funzione segno vale meno uno; se è positivo, vale più uno; e se x è zero, vale zero anche lei. Modifichiamo il grafico con il valore assoluto, f(x) = |sgn(x)|, e otteniamo |sgn(0)| = 0, mentre in tutti gli altri casi |sgn(x)| = 1. Il grafico:

La domanda è: a che cosa è uguale questo limite?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

La funzione è definita nel punto zero e il suo valore è anch’esso zero. Tuttavia questo non ci dice che anche il limite sia uguale a zero. Il limite può essere diverso dal valore della funzione nel punto.

L’unico modo di scegliere il limite in modo che la definizione sia soddisfatta è sceglierlo uguale a uno. Ci può aiutare anche l’intuizione: a che cosa si avvicina il valore della funzione quando x si avvicina a zero da sinistra? Si avvicina sempre a uno. Il fatto che alla fine salti a zero non ci importa. Analogamente per x che si avvicina a zero da destra.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Se invece lasciassimo la funzione nella forma originale, cioè f(x) = sgn(x), la funzione nel punto zero non avrebbe limite, ma due limiti unilaterali diversi. Da sinistra la funzione si avvicinerebbe a meno uno e da destra a più uno. Puoi provare a dimostrarlo con la definizione.

Limiti che non esistono

Vediamo ancora alcuni esempi in cui i limiti non esistono.

L’esempio più semplice di limite che non esiste è calcolare il limite in un punto che non è un punto di accumulazione di Dom f. Per esempio, non esiste il limite:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafico:

Le funzioni periodiche spesso non hanno limite all’infinito (ma non vale per tutte!). Tipicamente le funzioni goniometriche, come il seno. Ecco il grafico:

Il limite all’infinito semplicemente non esiste: il valore del seno oscilla continuamente tra uno e meno uno, quindi il limite non si può calcolare.