Fortgeschrittene Beispiele zur Ableitung

Einige Beispiele zu schwierigeren Ableitungen als die grundlegende Arbeit mit den Formeln. Wenn du die Definition der Ableitung erklärt haben möchtest, gehe zum Artikel Ableitung einer Funktion.

Erstes Beispiel

Wir beginnen mit etwas noch nicht allzu Schwerem.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Aus den Formeln für die Ableitung von Funktionen wissen wir, dass die Ableitung der Funktion e^x wieder e^x ist. Leider können wir dieses einfache Vorgehen in diesem Beispiel nicht ganz direkt anwenden, weil im Exponenten nicht nur x steht, sondern −x, wir müssen die Funktion also als verkettete Funktion behandeln. Im ersten Schritt erwartet uns aber ohnehin die Zerlegung mithilfe der Produktregel.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Das linke Polynom leiten wir mit der klassischen Formel ab, den Rest lassen wir unverändert:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Jetzt müssen wir die letzte Funktion ableiten. Wie wir schon gesagt haben, ist es eine verkettete Funktion, und deshalb müssen wir sie nach der Regel für verkettete Funktionen ableiten:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Die Ableitung unserer Funktion sähe also so aus:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Der Term e^−x bleibt gleich, weil die Ableitung von e^x wieder e^x ist und wir im ersten Schritt der Formel die äußere Funktion ableiten und die innere Funktion unabgeleitet lassen. Im zweiten Schritt multiplizieren wir unser Zwischenergebnis mit der Ableitung des Arguments der Funktion, das ist die Funktion −x. Die Ableitung der Funktion −x ist −1. Jetzt setzen wir nur noch unser Ergebnis in den vorherigen Ausdruck ein:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Zweites Beispiel

Die Aufgabenstellung des zweiten Beispiels:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Hier haben wir einen Bruch, im Zähler steht die eine Funktion und im Nenner eine andere Funktion. Im ersten Schritt leiten wir also nach der Quotientenregel ab. Nach Anwendung der Formel erhalten wir:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Wir gehen von hinten vor und leiten zuerst den Tangens ab, weil wir ihn einfach nach der Grundformel ableiten können. Es gilt, dass

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Nach Anwendung dieser Formel im Zähler des Bruchs erhalten wir

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Jetzt müssen wir den Logarithmus ableiten. Leider haben wir im Logarithmus eine weitere verschachtelte Funktion, also erhalten wir eine verkettete Funktion und müssen den Logarithmus daher komplizierter als verkettete Funktion ableiten. Die Ableitung des Logarithmus selbst ist 1/x, wobei wir allerdings für x das Argument des Logarithmus einsetzen, also den Kosinus. Weiter müssen wir noch mit der Ableitung des Arguments multiplizieren, also mit der Ableitung des Kosinus. Die Ableitung des Logarithmus sieht also so aus:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Wir haben einen recht schönen Bruch erhalten. Wenn du dich gut an die Trigonometrie erinnerst, weißt du, dass dieser Bruch dem Tangens gleich ist. Wir können also schreiben, dass das Ganze gleich minus Tangens ist:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Das setzen wir in das vorherige Ergebnis ein:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Im Zähler haben wir zweimal den Tangens, wir können ihn also einfach quadrieren. Den Logarithmus können wir in den Zähler des folgenden Bruchs schieben.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Jetzt können wir den Zähler aufteilen und erhalten zwei Brüche

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Im ersten Bruch ist der Zähler gleich dem Nenner, wir erhalten also eins. Im zweiten Bruch können wir den Bruch im Zähler loswerden, indem wir den Bruch mit dem Term cos²x erweitern.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Den Tangens können wir nun als Quotient sin(x)/cos(x) schreiben. Weil wir aber den Tangens im Quadrat haben, stehen auch im Bruch Zähler und Nenner im Quadrat. Danach können wir gleich cos²x kürzen.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Das ist das Endergebnis der Ableitung.

Drittes Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Falls es nicht gut zu sehen ist – alles sind Exponenten, also „x hoch x hoch einhalb“. Im ersten Schritt führen wir zunächst eine Umformung nach der Formel durch:

$$x=e^{\ln x}$$

Mit dieser Formel zerlegen wir das erste x in unserem Beispiel:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nun wenden wir die Formel für das Rechnen mit Potenzen an:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Wir entfernen die Klammern und multiplizieren den höchsten Exponenten mit dem Logarithmus:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Jetzt haben wir die Funktion in einer Form, in der sie sich besser ableiten lässt. Es handelt sich um eine verkettete Funktion, und als solche leiten wir sie ab. Die erste Funktion ist e^x, wobei wir für x den ganzen Exponenten einsetzen, und die zweite Funktion steht im Exponenten. Durch die Zerlegung erhalten wir also:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Die Klammer leiten wir als Produkt ab, wir wenden also die Produktregel an.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Die Ableitung des Logarithmus ist 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Jetzt leiten wir den zweiten Term nach der klassischen Formel für das Ableiten von Potenzfunktionen ab. Es gilt also:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Dieses Ergebnis setzen wir in unsere Rechnung ein:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Das erste Produkt können wir noch umformen, wieder mit den Formeln, die mit Potenzen arbeiten:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Wir schreiben den vorherigen Ausdruck mithilfe der Rechnung um, die wir gerade gemacht haben:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Und zum Schluss schieben wir den Logarithmus in den Zähler des Bruchs:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Den ersten Bruch können wir mit zwei erweitern, und dann können wir die Brüche addieren:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nun können wir zur ganzen Ableitung zurückkehren:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Nun ersetzen wir e^{ln x} wieder durch x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Damit haben wir das Endergebnis erhalten.