Gevorderde voorbeelden over afgeleiden

Een paar voorbeelden over ingewikkeldere afgeleiden dan het basiswerk met formules. Als je de definitie van de afgeleide uitgelegd wilt hebben, ga dan naar het artikel afgeleide van een functie.

Eerste voorbeeld

We beginnen met iets dat nog niet te moeilijk is.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Uit de formules voor afgeleiden van functies weten we dat de afgeleide van de functie e^x weer e^x is. Helaas kunnen we deze eenvoudige werkwijze in dit voorbeeld niet helemaal rechtstreeks gebruiken, want in de exponent staat niet alleen x, maar −x, dus we moeten de gegeven functie behandelen als een samengestelde functie. In de eerste stap wacht ons echter sowieso het opsplitsen met de productregel.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

De veelterm links differentiëren we met de klassieke formule, de rest laten we hetzelfde:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Nu moeten we de laatste functie differentiëren. Zoals we al zeiden, is het een samengestelde functie en die moeten we dus differentiëren volgens de regel voor samengestelde functies:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

De afgeleide van onze functie ziet er dus zo uit:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

De uitdrukking e^−x blijft hetzelfde, omdat de afgeleide van e^x weer e^x is en we in de eerste stap van de formule de buitenste functie differentiëren en de binnenste functie ongedifferentieerd laten. In de tweede stap vermenigvuldigen we ons tussenresultaat met de afgeleide van het argument van de functie, dat is de functie −x. De afgeleide van de functie −x is −1. Nu vullen we ons resultaat alleen nog in de vorige uitdrukking in:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Tweede voorbeeld

De opgave van het tweede voorbeeld:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Hier hebben we een breuk, in de teller staat de ene functie en in de noemer een andere functie. In de eerste stap differentiëren we dus volgens de formule voor het quotiënt. Na toepassing van de formule krijgen we:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

We nemen het van achteren: eerst differentiëren we de tangens, want die kunnen we eenvoudig differentiëren met de basisformule. Er geldt

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Na toepassing van deze formule in de teller van de breuk krijgen we

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Nu moeten we de logaritme differentiëren. Helaas hebben we binnen de logaritme nog een geneste functie, dus we krijgen een samengestelde functie en moeten de logaritme op een ingewikkelder manier differentiëren, als samengestelde functie. De afgeleide van de logaritme zelf is 1/x, waarbij we voor x het argument van de logaritme invullen, dus de cosinus. Verder moeten we nog vermenigvuldigen met de afgeleide van het argument, dus met de afgeleide van de cosinus. De afgeleide van de logaritme ziet er dus zo uit:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

We hebben een best mooie breuk gekregen. Als je je goniometrie nog goed herinnert, weet je dat deze breuk gelijk is aan de tangens. We kunnen dus opschrijven dat het geheel gelijk is aan min tangens:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Dit vullen we in het vorige resultaat in:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

In de teller hebben we twee keer de tangens, dus die kunnen we eenvoudig kwadrateren. De logaritme kunnen we naar de teller van de volgende breuk verplaatsen.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nu kunnen we de teller splitsen en twee breuken krijgen

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

In de eerste breuk is de teller gelijk aan de noemer, dus we krijgen één. In de tweede breuk kunnen we de breuk in de teller wegwerken door de breuk uit te breiden met de uitdrukking cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

De tangens kunnen we nu schrijven als het quotiënt sin(x)/cos(x). Omdat we de tangens in het kwadraat hebben, krijgen we ook in de breuk de teller en de noemer in het kwadraat. Daarna kunnen we meteen cos²x wegstrepen.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Dat is het eindresultaat van de afgeleide.

Derde voorbeeld

Bereken de afgeleide van de functie

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Voor het geval het niet duidelijk te zien is — het zijn allemaal exponenten, dus “x tot de macht x tot de macht een half”. In de eerste stap voeren we eerst een herschrijving uit volgens de formule:

$$x=e^{\ln x}$$

Met deze formule schrijven we de eerste x in ons voorbeeld uit:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nu passen we de formule voor het werken met machten toe:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

We laten de haakjes weg en zetten de hoogste exponent met de logaritme in een product:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Nu hebben we de functie in een vorm waarin ze gemakkelijker te differentiëren is. Het is een samengestelde functie en als zodanig gaan we haar differentiëren. De eerste functie is e^x, waarbij we voor x de hele exponent invullen, en de tweede functie staat in de exponent. Door het uit te splitsen krijgen we dus:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

De uitdrukking tussen haakjes differentiëren we als een product, dus we passen de formule voor het product toe.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

De afgeleide van de logaritme is 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Nu differentiëren we de tweede uitdrukking, met de klassieke formule voor het differentiëren van machtsfuncties. Er geldt dus:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

We vullen dit resultaat in onze berekening in:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

We kunnen het eerste product nog herschrijven, opnieuw met formules die met machten werken:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

We schrijven de vorige uitdrukking over met de berekening die we zojuist hebben gedaan:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

En tot slot brengen we de logaritme naar de teller van de breuk:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

De eerste breuk kunnen we uitbreiden met twee en dan kunnen we de breuken optellen:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nu kunnen we terug naar de hele afgeleide:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

We vervangen e^{ln x} weer door x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Daarmee hebben we het eindresultaat.