Exemples avancés sur les dérivées

Quelques exemples sur des dérivées plus compliquées que le simple travail avec les formules de base. Si tu as besoin d’une explication de la définition de la dérivée, rends-toi sur l’article dérivée d’une fonction.

Premier exemple

Commençons par quelque chose qui n’est pas encore trop difficile.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

D’après les formules de dérivation des fonctions, nous savons que la dérivée de la fonction e^x est de nouveau e^x. Hélas, nous ne pouvons pas utiliser directement cette méthode simple dans cet exemple, car dans l’exposant il n’y a pas seulement x, mais −x ; nous devons donc traiter cette fonction comme une fonction composée. Dans un premier temps, c’est pourtant la décomposition par la formule du produit qui nous attend.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Le polynôme de gauche, nous le dérivons avec la formule classique, le reste est laissé tel quel :

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Il faut maintenant dériver la dernière fonction. Comme nous l’avons dit, c’est une fonction composée, et nous devons donc la dériver selon la règle des fonctions composées :

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

La dérivée de notre fonction s’écrit donc ainsi :

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

L’expression e^−x reste la même, car la dérivée de e^x est encore e^x, et dans la première étape de la formule on dérive la fonction extérieure en laissant la fonction intérieure sans la dériver. Dans la deuxième étape, nous multiplions notre résultat intermédiaire par la dérivée de l’argument de la fonction, c’est-à-dire de la fonction −x. La dérivée de la fonction −x est −1. Il ne reste plus qu’à reporter notre résultat dans l’expression précédente :

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Deuxième exemple

Énoncé du deuxième exemple :

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Ici, nous avons une fraction : au numérateur, il y a une fonction, au dénominateur une autre. Dans un premier temps, nous allons donc dériver selon la formule du quotient. Après application de la formule, nous obtenons :

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Prenons les choses par la fin : dérivons d’abord la tangente, car nous pouvons le faire simplement avec la formule de base. On a

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Après application de cette formule au numérateur de la fraction, nous obtenons

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Il faut maintenant dériver le logarithme. Hélas, il y a à l’intérieur du logarithme une autre fonction imbriquée, nous avons donc une fonction composée et nous devons dériver le logarithme de façon plus élaborée, comme une fonction composée. La dérivée du logarithme seul est 1/x, où nous remplaçons cependant x par l’argument du logarithme, c’est-à-dire le cosinus. Il faut ensuite multiplier par la dérivée de l’argument, c’est-à-dire par la dérivée du cosinus. La dérivée du logarithme s’écrit donc ainsi :

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Nous avons obtenu une assez jolie fraction. Si tu te souviens bien de la trigonométrie, tu sais que cette fraction est égale à la tangente. Nous pouvons donc écrire que le tout est égal à moins la tangente :

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Reportons cela dans le résultat précédent :

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Au numérateur, nous avons deux fois la tangente, nous pouvons donc simplement l’élever au carré. Le logarithme, nous pouvons le placer au numérateur de la fraction suivante.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nous pouvons maintenant séparer le numérateur pour obtenir deux fractions

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Dans la première fraction, le numérateur est égal au dénominateur, nous obtenons donc un. Dans la deuxième fraction, nous pouvons nous débarrasser de la fraction du numérateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’expression cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Nous pouvons maintenant décomposer la tangente en quotient sin(x)/cos(x). Comme la tangente est au carré, nous obtenons aussi dans la fraction un numérateur et un dénominateur au carré. Nous pouvons alors tout de suite simplifier par cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

C’est le résultat final de cette dérivée.

Troisième exemple

Calcule la dérivée de la fonction

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Si ce n’est pas clairement visible – ce sont tous des exposants, donc « x puissance x puissance un demi ». Dans un premier temps, nous effectuons d’abord une transformation selon la formule :

$$x=e^{\ln x}$$

Grâce à cette formule, nous décomposons le premier x de notre exemple :

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nous appliquons maintenant la formule pour le calcul avec les puissances :

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Nous enlevons les parenthèses et mettons en produit le plus grand exposant avec le logarithme :

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Nous avons maintenant la fonction sous une forme qui sera plus agréable à dériver. Il s’agit d’une fonction composée et nous la dérivons comme telle. La première fonction est e^x, où nous remplaçons x par l’exposant entier, et la deuxième fonction est dans l’exposant. En décomposant, nous obtenons donc :

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Nous dérivons la parenthèse comme un produit, donc nous appliquons la formule du produit.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

La dérivée du logarithme est 1/x :

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Dérivons maintenant le deuxième terme, selon la formule classique de dérivation des fonctions puissances. On a donc :

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Reportons ce résultat dans notre calcul :

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Nous pouvons encore transformer le premier produit, toujours avec les formules qui traitent des puissances :

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Récrivons l’expression précédente à l’aide du calcul que nous venons de faire :

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Et enfin, plaçons le logarithme au numérateur de la fraction :

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par deux, puis additionner les fractions :

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nous pouvons maintenant revenir à la dérivée entière :

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Nous remplaçons à nouveau e^{ln x} par x :

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Nous avons ainsi obtenu le résultat final.