İleri Düzey Türev Örnekleri

Temel formüllerle çalışmaktan daha karmaşık türevler üzerine birkaç örnek. Türevin tanımını öğrenmek istiyorsan fonksiyonun türevi yazısına geç.

Birinci Örnek

Henüz çok zor olmayan bir örnekle başlayalım.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Türev formüllerinden e^x fonksiyonunun türevinin yine e^x olduğunu biliyoruz. Ne yazık ki bu basit yöntemi bu örnekte doğrudan kullanamayız, çünkü üste yalnızca x değil, −x var; bu yüzden fonksiyonu bileşke fonksiyon olarak çözmemiz gerekir. Yine de ilk adımda çarpım formülüyle ayırmamız gerekiyor.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Soldaki tek terimlinin türevini bildiğimiz formülle alır, geri kalanını aynen bırakırız:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Şimdi son fonksiyonun türevini almamız gerekiyor. Daha önce söylediğimiz gibi bu bir bileşke fonksiyondur, bu yüzden bileşke fonksiyon kuralına göre türev alırız:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Yani fonksiyonumuzun türevi şöyle olur:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

e^−x ifadesi aynı kalır, çünkü e^x’in türevi yine e^x’tir ve formülün ilk adımında dış fonksiyonun türevini alıp iç fonksiyonu türevlenmemiş bırakırız. İkinci adımda ara sonucumuzu fonksiyonun argümanının türeviyle, yani −x fonksiyonunun türeviyle çarparız. −x fonksiyonunun türevi −1’dir. Şimdi sonucumuzu önceki ifadede yerine yazalım:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

İkinci Örnek

İkinci örneğin sorusu:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Burada bir kesir var; payında bir fonksiyon, paydasında başka bir fonksiyon yer alıyor. O hâlde ilk adımda bölüm formülüne göre türev alacağız. Formülü uyguladıktan sonra şunu elde ederiz:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Sondan başlayalım; önce tanjantın türevini alalım, çünkü onu temel formülle kolayca alabiliriz. Şu geçerlidir:

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Bu formülü kesrin payında uyguladıktan sonra şunu elde ederiz:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Şimdi logaritmanın türevini almamız gerekiyor. Ne yazık ki logaritmanın içinde bir fonksiyon daha var; yani bileşke fonksiyonumuz var ve logaritmanın türevini bileşke fonksiyon olarak, biraz daha zor yoldan almalıyız. Logaritmanın kendi türevi 1/x’tir, ancak burada x yerine logaritmanın argümanını, yani kosinüsü yazarız. Ayrıca argümanın türeviyle, yani kosinüsün türeviyle de çarpmamız gerekir. Logaritmanın türevi şöyle görünür:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Oldukça güzel bir kesir elde ettik. Trigonometriyi iyi hatırlıyorsan bu kesrin tanjanta eşit olduğunu bilirsin. Yani bütününün eksi tanjanta eşit olduğunu yazabiliriz:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Bunu önceki sonuçta yerine yazalım:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Pay kısmında iki kez tanjant var, bu yüzden onu kolayca karesi biçiminde yazabiliriz. Logaritmayı da sonraki kesrin payına taşıyabiliriz.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Şimdi payı ayırıp iki kesir elde edebiliriz

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Birinci kesirde pay paydaya eşit olduğundan bir elde ederiz. İkinci kesirde, payın içindeki kesirden kurtulmak için kesri cos²x ifadesiyle genişletiriz.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tanjantı artık sin(x)/cos(x) bölümü olarak yazabiliriz. Tanjant karesi olduğu için kesirde de pay ve payda karesi alınmış olarak gelir. Sonra hemen cos²x’i sadeleştirebiliriz.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Türevin nihai sonucu budur.

Üçüncü Örnek

Şu fonksiyonun türevini hesapla:

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Net görünmüyorsa: hepsi üstür, yani “x üssü x üssü bir bölü iki”. İlk adımda önce şu formüle göre bir düzenleme yaparız:

$$x=e^{\ln x}$$

Bu formülle örneğimizdeki ilk x’i açarız:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Şimdi kuvvetlerle işlem formülünü uygularız:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Parantezleri kaldırır, en büyük üssü logaritmayla çarpım hâline getiririz:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Artık fonksiyon, türevini almanın daha kolay olacağı bir biçimde. Bu bir bileşke fonksiyondur ve onun türevini bileşke fonksiyon olarak alırız. İlk fonksiyon e^x’tir; x yerine üssün tamamını yazarız, ikinci fonksiyon ise üssün içindedir. Ayırınca şunu elde ederiz:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Parantezin türevini çarpım olarak alacağız, yani çarpım formülünü uygularız.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Logaritmanın türevi 1/x’tir:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Şimdi ikinci ifadenin türevini kuvvet fonksiyonlarının türevi için bildiğimiz formülle alalım. Şu geçerlidir:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Bu sonucu hesabımızda yerine yazalım:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Birinci çarpımı yine kuvvetlerle çalışan formüllerle biraz daha düzenleyebiliriz:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Önceki ifadeyi az önce yaptığımız hesapla yeniden yazalım:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Ve son olarak logaritmayı kesrin payına taşıyalım:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Birinci kesri ikiyle genişletebilir, sonra kesirleri toplayabiliriz:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Şimdi türevin tamamına dönebiliriz:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

e^{ln x} ifadesini tekrar x ile değiştiririz:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Böylece nihai sonucu bulduk.