Exemple avansate de derivate

Câteva exemple de derivate mai complicate decât simplul lucru cu formulele de bază. Dacă ai nevoie de explicarea definiției derivatei, treci la articolul derivata unei funcții.

Primul exemplu

Începem cu ceva încă nu prea greu.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Din formulele de derivare ale funcțiilor știm că derivata funcției e^x este tot e^x. Din păcate, acest procedeu simplu nu îl putem folosi în acest exemplu direct, pentru că în exponent nu se află doar x, ci −x, deci trebuie să tratăm funcția dată ca funcție compusă. În primul pas ne așteaptă oricum descompunerea cu formula pentru produs.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Monomul din stânga îl derivăm cu formula clasică, restul îl lăsăm la fel:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Acum trebuie să derivăm ultima funcție. Așa cum am spus, este o funcție compusă și deci trebuie s-o derivăm după regula funcțiilor compuse:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Deci derivata funcției noastre ar arăta astfel:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Expresia e^−x rămâne la fel, pentru că derivata lui e^x este din nou e^x, iar în primul pas al formulei derivăm funcția exterioară și lăsăm funcția interioară nederivată. În al doilea pas înmulțim rezultatul nostru intermediar cu derivata argumentului funcției, adică a funcției −x. Derivata funcției −x este −1. Acum doar înlocuim rezultatul nostru în expresia anterioară:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Al doilea exemplu

Enunțul celui de-al doilea exemplu:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\mathrm{tg}x}$$

Aici avem o fracție, la numărător este o funcție, iar la numitor este altă funcție. Deci în primul pas vom deriva după formula pentru împărțire. După aplicarea formulei obținem:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

O luăm de la sfârșit, derivăm mai întâi tangenta, pentru că o putem deriva simplu după formula de bază. Avem

$$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

După aplicarea acestei formule la numărătorul fracției obținem

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Acum trebuie să derivăm logaritmul. Din păcate, în interiorul logaritmului avem o altă funcție imbricată, deci obținem o funcție compusă și trebuie să derivăm logaritmul mai complicat, ca funcție compusă. Derivata logaritmului însuși este 1/x, unde însă în locul lui x punem argumentul logaritmului, adică cosinusul. Mai trebuie să înmulțim cu derivata argumentului, adică cu derivata cosinusului. Deci derivata logaritmului va arăta astfel:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Am obținut o fracție destul de frumoasă. Dacă îți amintești bine trigonometria, știi că această fracție este egală cu tangenta. Deci putem scrie că totul este egal cu minus tangenta:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\mathrm{tg}x$$

Înlocuim deci în rezultatul anterior:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{-\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

La numărător avem de două ori tangenta, deci o putem ridica simplu la pătrat. Logaritmul îl putem muta la numărătorul fracției următoare.

$$=\frac{-{\mathrm{tg}}^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Acum putem desparte numărătorul și obținem două fracții

$$=-\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

În prima fracție numărătorul este egal cu numitorul, deci obținem unu. În a doua fracție putem scăpa de fracția de la numărător amplificând fracția cu expresia cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Tangenta o putem acum descompune în câtul sin(x)/cos(x). Dar pentru că avem tangenta la pătrat, obținem și în fracție numărătorul și numitorul la pătrat. Apoi putem simplifica imediat cu cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Acesta este rezultatul final al derivării.

Al treilea exemplu

Calculează derivata funcției

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Dacă nu se vede clar – sunt toate exponenți, adică „x la x la o doime”. În primul pas efectuăm mai întâi o transformare după formula:

$$x=e^{\ln x}$$

Cu această formulă descompunem primul x din exemplul nostru:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Acum aplicăm formula pentru lucrul cu puterile:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Eliminăm parantezele și punem în produs cel mai mare exponent cu logaritmul:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Acum avem funcția într-o formă în care va fi mai ușor de derivat. Este o funcție compusă și ca atare o vom deriva. Prima funcție este e^x, în care în locul lui x punem tot exponentul, iar a doua funcție este în exponent. Deci prin descompunere obținem:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Paranteza o vom deriva ca produs, deci aplicăm formula pentru produs.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Derivata logaritmului este 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Acum derivăm a doua expresie, după formula clasică pentru derivarea funcțiilor putere. Deci avem:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Înlocuim acest rezultat în calculul nostru:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Mai putem transforma primul produs, din nou cu ajutorul formulelor care lucrează cu puteri:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Rescriem expresia anterioară cu ajutorul calculului pe care tocmai l-am făcut:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Și la sfârșit mutăm logaritmul la numărătorul fracției:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Prima fracție o putem amplifica cu doi, iar apoi fracțiile le putem aduna:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Acum ne putem întoarce la derivata întreagă:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Înlocuim înapoi e^{ln x} cu x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Am obținut astfel rezultatul final.