Exemplos avançados de derivadas

Alguns exemplos de derivadas mais complicadas do que o trabalho básico com fórmulas. Se você precisa de uma explicação da definição de derivada, vá ao artigo sobre a derivada de uma função.

Primeiro exemplo

Começamos com algo ainda não muito difícil.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Pelas fórmulas de derivadas de funções sabemos que a derivada da função e^x é novamente e^x. Infelizmente, não podemos usar esse procedimento simples neste exemplo de forma totalmente direta, porque no expoente não há apenas x, mas −x, de modo que devemos resolver a função dada como uma função composta. No primeiro passo, porém, de qualquer modo nos espera a decomposição pela fórmula do produto.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Derivamos o polinômio da esquerda pela fórmula clássica e deixamos o resto igual:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Agora precisamos derivar a última função. Como já dissemos, é uma função composta, e por isso devemos derivá-la pela regra das funções compostas:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Assim, a derivada da nossa função ficaria:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

A expressão e^−x permanece igual, porque a derivada de e^x é novamente e^x e, no primeiro passo da fórmula, derivamos a função externa e deixamos a função interna sem derivar. No segundo passo multiplicamos o nosso resultado intermediário pela derivada do argumento da função, que é a função −x. A derivada da função −x é −1. Agora basta substituir o nosso resultado na expressão anterior:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Segundo exemplo

Enunciado do segundo exemplo:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\mathrm{tg}x}$$

Aqui temos uma fração: no numerador há uma função e, no denominador, outra função. Então, no primeiro passo, vamos derivar pela fórmula da divisão. Após aplicar a fórmula, obtemos:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Vamos começar pelo fim: derivamos primeiro a tangente, porque podemos derivá-la simplesmente pela fórmula básica. Vale que

$$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Após aplicar essa fórmula no numerador da fração, obtemos

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Agora precisamos derivar o logaritmo. Infelizmente, dentro do logaritmo temos outra função aninhada, de modo que obtemos uma função composta e precisamos, assim, derivar o logaritmo de modo mais complicado, como função composta. A derivada do próprio logaritmo é 1/x, em que, no entanto, no lugar de x substituímos o argumento do logaritmo, isto é, o cosseno. Além disso, ainda precisamos multiplicar pela derivada do argumento, isto é, pela derivada do cosseno. Então a derivada do logaritmo será assim:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \mathrm{sen}x=-\frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}$$

Obtivemos uma fração bem bonita. Se você se lembra bem da trigonometria, sabe que essa fração é igual à tangente. Então podemos escrever que tudo isso é igual a menos tangente:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\mathrm{tg}x$$

Substituímos isso, então, no resultado anterior:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{-\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

No numerador temos duas vezes a tangente, então podemos simplesmente elevá-la ao quadrado. Podemos passar o logaritmo para o numerador da fração seguinte.

$$=\frac{-{\mathrm{tg}}^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Agora podemos separar o numerador e obter duas frações

$$=-\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Na primeira fração o numerador é igual ao denominador, então obtemos o um. Na segunda fração podemos nos livrar da fração no numerador multiplicando a fração pela expressão cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Agora podemos decompor a tangente no quociente sen(x)/cos(x). Mas, como temos a tangente ao quadrado, obtemos também na fração o numerador e o denominador ao quadrado. Depois podemos logo simplificar cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\mathrm{sen}}^{2}x}-1.$$

Esse é o resultado final da derivada.

Terceiro exemplo

Calcule a derivada da função

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Se não está claramente visível: tudo isso são expoentes, ou seja, “x elevado a x elevado a um meio”. No primeiro passo, fazemos uma transformação pela fórmula:

$$x=e^{\ln x}$$

Com essa fórmula decompomos o primeiro x do nosso exemplo:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Agora aplicamos a fórmula para o trabalho com potências:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Eliminamos os parênteses e colocamos em produto o maior expoente com o logaritmo:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Agora já temos a função na forma em que será mais fácil derivar. Trata-se de uma função composta, e como tal vamos derivá-la. A primeira função é e^x, em que, no lugar de x, substituímos o expoente inteiro, e a segunda função está no expoente. Assim, pela decomposição, obtemos:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Vamos derivar a expressão entre parênteses como produto, então aplicamos a fórmula do produto.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

A derivada do logaritmo é 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Agora derivamos a segunda expressão, pela fórmula clássica para a derivação de funções potência. Assim, vale:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Substituímos esse resultado em nosso cálculo:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Podemos ainda transformar o primeiro produto, novamente com as fórmulas que trabalham com potências:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Reescrevemos a expressão anterior com o cálculo que acabamos de fazer:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

E por fim passamos o logaritmo para o numerador da fração:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Podemos multiplicar a primeira fração por dois (numerador e denominador) e, então, somar as frações:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Agora já podemos voltar à derivada inteira:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Voltamos a trocar e^{ln x} por x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Com isso obtivemos o resultado final.