По-трудни примери за производни

Няколко примера за по-сложни производни от основната работа с формулите. Ако ти трябва обяснение на определението за производна, премини към статията производна на функция.

Първи пример

Започваме с нещо все още не толкова трудно.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

От формулите за производни на функции знаем, че производната на функцията e^x е отново e^x. За съжаление този прост метод не можем да приложим в този пример съвсем директно, защото в показателя няма само x, а −x, така че трябва да я диференцираме като съставна функция. В първата стъпка обаче ни чака разлагане по формулата за произведение.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Левия многочлен диференцираме по класическата формула, останалото оставяме без промяна:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Сега трябва да диференцираме последната функция. Както вече казахме, това е съставна функция и затова трябва да я диференцираме по правилото за съставни функции:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Производната на нашата функция изглежда така:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Изразът e^−x остава същият, защото производната на e^x е отново e^x, а в първата стъпка на формулата диференцираме външната функция и вътрешната функция оставяме недиференцирана. Във втората стъпка умножаваме нашия междинен резултат по производната на аргумента на функцията, който е функцията −x. Производната на функцията −x е −1. Сега само заместваме нашия резултат в предишния израз:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Втори пример

Условие на втория пример:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\mathrm{tg}x}$$

Тук имаме дроб, в числителя е една функция, а в знаменателя е друга функция. Затова в първата стъпка ще диференцираме по формулата за частно. След прилагане на формулата получаваме:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Ще тръгнем от края, първо диференцираме тангенса, защото можем да го диференцираме просто по основната формула. Знаем, че

$$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

След прилагане на тази формула в числителя на дробта получаваме

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Сега трябва да диференцираме логаритъма. За съжаление вътре в логаритъма имаме още една вложена функция, така че получаваме съставна функция и трябва да диференцираме логаритъма по-сложно, като съставна функция. Производната на самия логаритъм е 1/x, като обаче за x заместваме аргумента на логаритъма, т.е. косинуса. След това трябва да умножим още по производната на аргумента, т.е. по производната на косинуса. Така производната на логаритъма ще изглежда така:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Получихме доста проста дроб. Ако си спомняш добре тригонометрията, знаеш, че тази дроб е равна на тангенса. Така можем да запишем, че всичко това е равно на минус тангенс:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\mathrm{tg}x$$

Заместваме го в предишния резултат:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{-\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

В числителя имаме два пъти тангенс, така че можем просто да го повдигнем на втора степен. Логаритъма можем да преместим в числителя на следващата дроб.

$$=\frac{-{\mathrm{tg}}^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Сега можем да разделим числителя и да получим две дроби

$$=-\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

В първата дроб числителят е равен на знаменателя, така че получаваме единица. Във втората дроб можем да се освободим от дробта в числителя, като разширим дробта с израза cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Тангенса сега можем да разложим на частното sin(x)/cos(x). Тъй като обаче имаме тангенс на квадрат, получаваме и в дробта числител и знаменател на квадрат. След това веднага можем да съкратим cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Това е крайният резултат от диференцирането.

Трети пример

Пресметни производната на функцията

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Ако не се вижда ясно – всичко са степенни показатели, т.е. „x на степен x на степен една втора“. Първо извършваме преобразуване по формулата:

$$x=e^{\ln x}$$

С тази формула разлагаме първото x в нашия пример:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Сега прилагаме формулата за работа със степени:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Премахваме скобите и умножаваме най-горния показател по логаритъма:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Сега вече имаме функцията във вид, в който ще ни е по-лесно да диференцираме. Това е съставна функция и като такава ще я диференцираме. Първата функция е e^x, където за x заместваме целия показател, а втората функция е в показателя. Така след разлагането получаваме:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Скобата ще диференцираме като произведение, така че прилагаме формулата за произведение.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Производната на логаритъма е 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Сега диференцираме втория израз, по класическата формула за диференциране на степенни функции. Получаваме:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Заместваме този резултат в нашето пресмятане:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Можем да преобразуваме още първото произведение, отново с формулите, които работят със степени:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Преписваме предишния израз с помощта на пресмятането, което току-що направихме:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

И накрая преместваме логаритъма в числителя на дробта:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Първата дроб можем да разширим с две и след това дробите можем да съберем:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Сега вече можем да се върнем към цялата производна:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Обратно заместваме e^{ln x} с x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Така получихме крайния резултат.