Vaativampia derivaattaesimerkkejä

Muutamia esimerkkejä vaativammista derivaatoista kuin pelkkä kaavojen peruskäyttö. Jos tarvitset selityksen derivaatan määritelmälle, siirry artikkeliin funktion derivaatta.

Ensimmäinen esimerkki

Aloitetaan jollakin, mikä ei ole vielä kovin vaikeaa.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Derivointikaavoista tiedetään, että funktion e^x derivaatta on jälleen e^x. Valitettavasti tätä yksinkertaista menettelyä ei voi tässä esimerkissä käyttää aivan suoraan, koska eksponentissa ei ole pelkästään x vaan −x, joten funktio täytyy käsitellä yhdistettynä funktiona. Ensimmäisessä vaiheessa käytetään kuitenkin joka tapauksessa tulon derivointisääntöä.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Vasemmanpuoleinen polynomi derivoidaan tavallisella kaavalla, muu jätetään ennalleen:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Nyt täytyy derivoida viimeinen funktio. Kuten jo todettiin, se on yhdistetty funktio, joten se täytyy derivoida yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Tämän funktion derivaatta näyttäisi siis tältä:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Lauseke e^−x pysyy samana, koska e^x:n derivaatta on taas e^x, ja kaavan ensimmäisessä vaiheessa derivoidaan ulkofunktio ja sisäfunktio jätetään derivoimatta. Toisessa vaiheessa kerrotaan välitulos funktion argumentin derivaatalla, eli funktion −x derivaatalla. Funktion −x derivaatta on −1. Nyt tarvitsee enää sijoittaa tulos edelliseen lausekkeeseen:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Toinen esimerkki

Toisen esimerkin tehtävänanto:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Tässä on murtolauseke, jonka osoittajassa on yksi funktio ja nimittäjässä toinen funktio. Ensimmäisessä vaiheessa derivoidaan siis osamäärän derivointisäännöllä. Kaavaa soveltamalla saadaan:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Edetään lopusta alkuun ja derivoidaan ensin tangenttifunktio, koska se voidaan derivoida helposti peruskaavalla. Pätee

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Kun tätä kaavaa sovelletaan murtoluvun osoittajassa, saadaan

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Nyt täytyy derivoida logaritmi. Valitettavasti logaritmin sisällä on vielä toinen funktio, joten kyseessä on yhdistetty funktio ja logaritmi täytyy derivoida monimutkaisemmin, yhdistettynä funktiona. Pelkän logaritmin derivaatta on 1/x, mutta x:n paikalle sijoitetaan logaritmin argumentti, eli kosini. Lisäksi täytyy vielä kertoa argumentin derivaatalla, eli kosinin derivaatalla. Logaritmin derivaatta näyttää siis tältä:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Saatiin melko kaunis murtoluku. Jos muistat hyvin trigonometrian, tiedät, että tämä murtoluku on yhtä suuri kuin tangentti. Voidaan siis kirjoittaa, että koko lauseke on miinus tangentti:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Sijoitetaan tämä edelliseen tulokseen:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Osoittajassa on kaksi kertaa tangentti, joten se voidaan helposti korottaa toiseen potenssiin. Logaritmi voidaan siirtää seuraavan murtoluvun osoittajaan.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nyt osoittaja voidaan jakaa, ja saadaan kaksi murtolukua

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Ensimmäisessä murtoluvussa osoittaja on yhtä suuri kuin nimittäjä, joten saadaan ykkönen. Toisessa murtoluvussa osoittajan murtoluvusta päästään eroon laventamalla murtoluku lausekkeella cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tangenttifunktio voidaan nyt hajottaa osamääräksi sin(x)/cos(x). Koska tangentti on toisessa potenssissa, myös murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat toisessa potenssissa. Sen jälkeen cos²x voidaan heti supistaa.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Tämä on derivaatan lopullinen tulos.

Kolmas esimerkki

Laske funktion derivaatta.

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Jos tämä ei ole selvästi nähtävissä – kaikki ovat eksponentteja, eli ”x potenssiin x potenssiin puoli”. Ensimmäisessä vaiheessa tehdään ensin muunnos kaavan mukaan:

$$x=e^{\ln x}$$

Tämän kaavan avulla hajotetaan esimerkin ensimmäinen x:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nyt sovelletaan potenssien laskusääntöä:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Poistetaan sulkeet ja viedään korkein eksponentti tuloon logaritmin kanssa:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Nyt funktio on muodossa, jossa sitä on helpompi derivoida. Se on yhdistetty funktio, ja sellaisena se derivoidaan. Ensimmäinen funktio on e^x, jossa x:n paikalle sijoitetaan koko eksponentti, ja toinen funktio on eksponentissa. Hajottamalla saadaan siis:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Sulkulauseke derivoidaan tulona, joten sovelletaan tulon derivointisääntöä.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Logaritmin derivaatta on 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Nyt derivoidaan toinen lauseke potenssifunktioiden tavallisella derivointikaavalla. Pätee siis:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Sijoitetaan tämä tulos laskuun:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Ensimmäistä tuloa voidaan vielä sieventää, jälleen potenssien laskusäännöillä:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Kirjoitetaan edellinen lauseke uudelleen juuri tehdyn laskun avulla:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Ja lopuksi siirretään logaritmi murtoluvun osoittajaan:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Ensimmäinen murtoluku voidaan laventaa kahdella, ja sitten murtoluvut voidaan laskea yhteen:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nyt voidaan palata koko derivaattaan:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Korvataan e^{ln x} takaisin x:llä:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Näin saatiin lopullinen tulos.