Avancerade exempel på derivering

Några exempel på svårare derivering än det vanliga arbetet med formler. Om du behöver få derivatans definition förklarad, gå till artikeln derivatan av en funktion.

Första exemplet

Vi börjar med något som ännu inte är alltför svårt.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Från formlerna för derivering vet vi att derivatan av funktionen e^x åter är e^x. Tyvärr kan vi inte använda den enkla regeln helt direkt i det här exemplet, eftersom exponenten inte bara är x utan −x, så vi måste behandla funktionen som en sammansatt funktion. I första steget väntar ändå en uppdelning med produktregeln.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Polynomet till vänster deriverar vi med den vanliga formeln, resten låter vi stå kvar:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Nu måste vi derivera den sista funktionen. Som vi sa är den en sammansatt funktion, så vi måste derivera den enligt kedjeregeln:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Derivatan av vår funktion blir alltså:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Uttrycket e^−x förblir detsamma, eftersom derivatan av e^x åter är e^x och vi i formelns första steg deriverar den yttre funktionen medan den inre funktionen lämnas oderiverad. I det andra steget multiplicerar vi vårt mellanresultat med derivatan av funktionens argument, alltså funktionen −x. Derivatan av funktionen −x är −1. Nu sätter vi bara in vårt resultat i det föregående uttrycket:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Andra exemplet

Uppgiften i det andra exemplet:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Här har vi ett bråk med en funktion i täljaren och en annan funktion i nämnaren. I första steget deriverar vi därför enligt kvotregeln. När vi tillämpar formeln får vi:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Vi tar det från slutet och deriverar först tangens, eftersom den går att derivera enkelt med grundformeln. Det gäller att

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

När vi tillämpar den här formeln i bråkets täljare får vi

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Nu behöver vi derivera logaritmen. Tyvärr har vi ytterligare en funktion inuti logaritmen, så vi får en sammansatt funktion och måste derivera logaritmen på det mer komplicerade sättet, som en sammansatt funktion. Derivatan av själva logaritmen är 1/x, där vi dock sätter in logaritmens argument för x, alltså cosinus. Dessutom måste vi multiplicera med derivatan av argumentet, alltså derivatan av cosinus. Derivatan av logaritmen blir alltså:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Vi fick ett ganska snyggt bråk. Om du minns trigonometrin väl vet du att det här bråket är lika med tangens. Vi kan alltså skriva att det hela är lika med minus tangens:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Vi sätter in det i det föregående resultatet:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

I täljaren har vi tangens två gånger, så vi kan enkelt kvadrera den. Logaritmen kan vi flytta in i täljaren i nästa bråk.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nu kan vi dela upp täljaren och få två bråk

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

I det första bråket är täljaren lika med nämnaren, så vi får ett. I det andra bråket kan vi bli av med bråket i täljaren genom att förlänga bråket med uttrycket cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tangens kan vi nu skriva som kvoten sin(x)/cos(x). Eftersom vi har tangens i kvadrat får vi också täljare och nämnare i kvadrat i bråket. Därefter kan vi genast förkorta cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Det är derivatans slutresultat.

Tredje exemplet

Beräkna derivatan av funktionen

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Om det inte syns tydligt — allt är exponenter, alltså ”x upphöjt till x upphöjt till en halv”. I första steget gör vi först en omskrivning enligt formeln:

$$x=e^{\ln x}$$

Med den här formeln skriver vi om det första x i vårt exempel:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nu tillämpar vi formeln för räkning med potenser:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Vi tar bort parentesen och sätter den högsta exponenten i en produkt med logaritmen:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Nu har vi funktionen i en form som är lättare att derivera. Det är en sammansatt funktion, och som sådan ska vi derivera den. Den första funktionen är e^x, där vi sätter in hela exponenten för x, och den andra funktionen står i exponenten. Genom uppdelningen får vi alltså:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Parentesen ska vi derivera som en produkt, så vi tillämpar produktregeln.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Derivatan av logaritmen är 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Nu deriverar vi det andra uttrycket med den vanliga formeln för att derivera potensfunktioner. Det gäller alltså:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Vi sätter in det här resultatet i vår beräkning:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Vi kan också förenkla den första produkten, åter med hjälp av formlerna för räkning med potenser:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Vi skriver om det föregående uttrycket med hjälp av beräkningen vi just gjorde:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Och till sist flyttar vi in logaritmen i bråkets täljare:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Det första bråket kan vi förlänga med två, och sedan kan vi addera bråken:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nu kan vi gå tillbaka till hela derivatan:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Vi ersätter e^{ln x} med x igen:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Därmed har vi fått slutresultatet.