Avanserte eksempler på derivasjon

Noen eksempler på mer krevende derivasjon enn grunnleggende arbeid med formler. Hvis du trenger en forklaring av definisjonen av den deriverte, gå til artikkelen om den deriverte til en funksjon.

Første eksempel

Vi begynner med noe som ikke er altfor vanskelig ennå.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Fra formlene for derivasjon av funksjoner vet vi at den deriverte til funksjonen e^x igjen er e^x. Dessverre kan vi ikke bruke denne enkle framgangsmåten helt direkte i dette eksempelet, for i eksponenten står det ikke bare x, men −x, så vi må løse funksjonen som en sammensatt funksjon. I det første steget venter likevel en oppdeling med formelen for produkt.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Det venstre polynomet deriverer vi med den vanlige formelen, resten lar vi stå:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Nå må vi derivere den siste funksjonen. Som vi har sagt, er den en sammensatt funksjon, og da må vi derivere den etter regelen for sammensatte funksjoner:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Den deriverte til funksjonen vår ser altså slik ut:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Uttrykket e^−x forblir det samme, fordi den deriverte til e^x igjen er e^x, og i det første steget av formelen deriverer vi den ytre funksjonen og lar den indre funksjonen stå uderivert. I det andre steget ganger vi delresultatet vårt med den deriverte av argumentet til funksjonen, som er funksjonen −x. Den deriverte av funksjonen −x er −1. Nå setter vi bare resultatet vårt inn i det forrige uttrykket:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Andre eksempel

Oppgaven i det andre eksempelet:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Her har vi en brøk, i telleren er det én funksjon og i nevneren en annen funksjon. I det første steget deriverer vi altså etter formelen for divisjon. Etter å ha brukt formelen får vi:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Vi tar det fra slutten og deriverer først tangens, siden vi kan derivere den enkelt etter grunnformelen. Det gjelder at

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Etter å ha brukt denne formelen i telleren i brøken får vi

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Nå må vi derivere logaritmen. Dessverre har vi en ny indre funksjon inni logaritmen, så vi får en sammensatt funksjon og må derivere logaritmen på den mer krevende måten, som en sammensatt funksjon. Den deriverte av selve logaritmen er 1/x, der vi imidlertid setter inn argumentet til logaritmen for x, altså cosinus. Videre må vi gange med den deriverte av argumentet, altså den deriverte av cosinus. Den deriverte av logaritmen ser altså slik ut:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Vi fikk en ganske fin brøk. Hvis du husker trigonometri godt, vet du at denne brøken er lik tangens. Så vi kan skrive at det hele er lik minus tangens:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Dette setter vi inn i det forrige resultatet:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

I telleren har vi tangens to ganger, så vi kan enkelt skrive det som andre potens. Logaritmen kan vi flytte inn i telleren i den neste brøken.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nå kan vi dele opp telleren og få to brøker

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

I den første brøken er telleren lik nevneren, så vi får én. I den andre brøken kan vi bli kvitt brøken i telleren ved å utvide brøken med uttrykket cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tangens kan vi nå skrive om til forholdet sin(x)/cos(x). Siden vi har tangens i andre potens, får vi også teller og nevner i andre potens i brøken. Så kan vi straks forkorte cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Det er det endelige resultatet av derivasjonen.

Tredje eksempel

Regn ut den deriverte til funksjonen

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Hvis det ikke er tydelig: alt er eksponenter, altså «x opphøyd i x opphøyd i en halv». I det første steget gjør vi først en omforming etter formelen:

$$x=e^{\ln x}$$

Med denne formelen skriver vi om det første x i eksempelet vårt:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nå bruker vi formelen for regning med potenser:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Vi fjerner parentesene og setter den høyeste eksponenten sammen med logaritmen i et produkt:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Nå har vi funksjonen på en form som er lettere å derivere. Det er en sammensatt funksjon, og vi deriverer den som en sammensatt funksjon. Den første funksjonen er e^x, der vi setter inn hele eksponenten for x, og den andre funksjonen står i eksponenten. Ved oppdeling får vi:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Parentesen deriverer vi som et produkt, så vi bruker formelen for produkt.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Den deriverte av logaritmen er 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Nå deriverer vi det andre uttrykket, etter den vanlige formelen for derivasjon av potensfunksjoner. Det gjelder altså:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Vi setter dette resultatet inn i utregningen vår:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Vi kan også forenkle det første produktet, igjen med formlene som arbeider med potenser:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Vi skriver om det forrige uttrykket med utregningen vi nettopp gjorde:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Og til slutt flytter vi logaritmen inn i telleren i brøken:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Den første brøken kan vi utvide med to, og så kan vi legge sammen brøkene:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nå kan vi gå tilbake til hele den deriverte:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Til slutt bytter vi e^{ln x} tilbake til x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Dermed har vi fått det endelige resultatet.