Ejemplos avanzados de derivadas

Varios ejemplos de derivadas más complicadas que el trabajo básico con las fórmulas. Si necesitas que te expliquen la definición de derivada, ve al artículo derivada de una función.

Primer ejemplo

Empezamos con algo todavía no demasiado difícil.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Por las fórmulas de derivación sabemos que la derivada de la función e^x es de nuevo e^x. Por desgracia, este sencillo procedimiento no podemos usarlo directamente en este ejemplo, porque en el exponente no hay solo x, sino −x, así que tenemos que resolver esta función como una función compuesta. En el primer paso, de todos modos, nos espera la descomposición mediante la fórmula del producto.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

El monomio de la izquierda lo derivamos con la fórmula clásica y el resto lo dejamos igual:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Ahora tenemos que derivar la última función. Como ya hemos dicho, es una función compuesta, así que hay que derivarla según la regla de las funciones compuestas:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Así pues, la derivada de nuestra función quedaría de esta forma:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

La expresión e^−x se mantiene igual, porque la derivada de e^x es de nuevo e^x, y en el primer paso de la fórmula derivamos la función externa y dejamos la función interna sin derivar. En el segundo paso multiplicamos nuestro resultado parcial por la derivada del argumento de la función, que es la función −x. La derivada de la función −x es −1. Ahora solo sustituimos nuestro resultado en la expresión anterior:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Segundo ejemplo

Enunciado del segundo ejemplo:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Aquí tenemos una fracción: en el numerador hay una función y en el denominador, otra. Así que en el primer paso derivaremos según la fórmula del cociente. Tras aplicar la fórmula obtenemos:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Lo haremos de atrás hacia delante: derivamos primero la tangente, porque podemos derivarla fácilmente con la fórmula básica. Se cumple que

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Tras aplicar esta fórmula en el numerador de la fracción obtenemos

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Ahora necesitamos derivar el logaritmo. Por desgracia, dentro del logaritmo hay otra función anidada, así que tenemos una función compuesta y hay que derivar el logaritmo de forma más elaborada, como función compuesta. La derivada del logaritmo por sí solo es 1/x, donde, eso sí, en lugar de x sustituimos el argumento del logaritmo, es decir, el coseno. Además tenemos que multiplicar por la derivada del argumento, es decir, por la derivada del coseno. Así que la derivada del logaritmo quedará de esta forma:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \mathrm{sen}x=-\frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}$$

Hemos obtenido una fracción bastante bonita. Si recuerdas bien la trigonometría, sabrás que esta fracción es igual a la tangente. Así que podemos escribir que todo es igual a menos la tangente:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Lo sustituimos, pues, en el resultado anterior:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

En el numerador tenemos dos veces la tangente, así que podemos elevarla sencillamente al cuadrado. El logaritmo podemos pasarlo al numerador de la fracción siguiente.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Ahora podemos separar el numerador y obtener dos fracciones

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

En la primera fracción el numerador es igual al denominador, así que obtenemos uno. En la segunda fracción podemos deshacernos de la fracción del numerador multiplicando el numerador y el denominador por la expresión cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

La tangente ahora podemos descomponerla en el cociente sen(x)/cos(x). Pero como tenemos la tangente al cuadrado, en la fracción también obtendremos el numerador y el denominador al cuadrado. Después podemos simplificar enseguida cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\mathrm{sen}}^{2}x}-1.$$

Ese es el resultado final de la derivada.

Tercer ejemplo

Calcula la derivada de la función

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Por si no se ve con claridad: todo son exponentes, es decir, «x elevado a x elevado a un medio». En el primer paso hacemos primero una transformación según la fórmula:

$$x=e^{\ln x}$$

Con esta fórmula descomponemos la primera x de nuestro ejemplo:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Ahora aplicamos la fórmula para trabajar con potencias:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Quitamos los paréntesis y multiplicamos el exponente más alto por el logaritmo:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Ya tenemos la función en una forma en la que será más cómodo derivarla. Se trata de una función compuesta y como tal la derivaremos. La primera función es e^x, donde en lugar de x sustituimos todo el exponente, y la segunda función está en el exponente. Descomponiendo, pues, obtenemos:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

El paréntesis lo derivaremos como un producto, así que aplicamos la fórmula del producto.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

La derivada del logaritmo es 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Ahora derivamos la segunda expresión, según la fórmula clásica para derivar funciones potenciales. Se cumple, por tanto:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Sustituimos este resultado en nuestro cálculo:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Todavía podemos simplificar el primer producto, de nuevo con las fórmulas que trabajan con potencias:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Reescribimos la expresión anterior con el cálculo que acabamos de hacer:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Y por último pasamos el logaritmo al numerador de la fracción:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

La primera fracción podemos amplificarla por dos y entonces podemos sumar las fracciones:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Ahora ya podemos volver a la derivada completa:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Volvemos a sustituir e^{ln x} por x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Con eso hemos obtenido el resultado final.