Videregående eksempler på differentiation

Nogle eksempler på sværere differentiation end det grundlæggende arbejde med formler. Hvis du har brug for en forklaring af definitionen af differentialkvotienten, så gå til artiklen differentialkvotient og afledet funktion.

Første eksempel

Vi begynder med noget, der endnu ikke er særlig svært.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Af formlerne for differentiation af funktioner ved vi, at den afledede af funktionen e^x igen er e^x. Desværre kan vi ikke bruge denne simple fremgangsmåde helt direkte i dette eksempel, fordi der i eksponenten ikke kun står x, men −x, så vi må behandle den givne funktion som en sammensat funktion. I det første trin venter der os dog alligevel en opdeling ved hjælp af formlen for et produkt.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Det venstre polynomium differentierer vi efter den klassiske formel, resten lader vi være, som det er:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Nu skal vi differentiere den sidste funktion. Som vi allerede har sagt, er det en sammensat funktion, og derfor må vi differentiere den efter reglen for sammensatte funktioner:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Differentiationen af vores funktion ville altså se sådan ud:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Udtrykket e^−x forbliver det samme, fordi den afledede af e^x igen er e^x, og i det første trin af formlen differentierer vi den ydre funktion, mens vi lader den indre funktion være udifferentieret. I det andet trin multiplicerer vi vores delresultat med den afledede af funktionens argument, som er funktionen −x. Den afledede af funktionen −x er −1. Nu skal vi bare indsætte vores resultat i det foregående udtryk:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Andet eksempel

Opgaven i det andet eksempel:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Her har vi en brøk, i tælleren er der én funktion, og i nævneren er der en anden funktion. Så i det første trin differentierer vi efter formlen for division. Efter anvendelse af formlen får vi:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Vi tager det fra enden, vi differentierer først tangens, fordi vi kan differentiere den simpelt efter grundformlen. Der gælder, at

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Efter anvendelse af denne formel i brøkens tæller får vi

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Nu skal vi differentiere logaritmen. Desværre har vi inde i logaritmen endnu en indre funktion, så vi får en sammensat funktion og må derfor differentiere logaritmen mere kompliceret som en sammensat funktion. Den afledede af selve logaritmen er 1/x, hvor vi dog for x indsætter logaritmens argument, dvs. cosinus. Desuden skal vi stadig multiplicere med den afledede af argumentet, dvs. den afledede af cosinus. Så den afledede af logaritmen kommer til at se sådan ud:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Vi fik en ret pæn brøk. Hvis du husker trigonometri godt, ved du, at denne brøk er lig med tangens. Så vi kan skrive, at det hele er lig med minus tangens:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Vi indsætter det altså i det foregående resultat:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

I tælleren har vi tangens to gange, så vi kan simpelt opløfte den i anden. Logaritmen kan vi flytte op i tælleren i den følgende brøk.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Nu kan vi dele tælleren op og få to brøker

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

I den første brøk er tælleren lig med nævneren, så vi får en. I den anden brøk kan vi slippe af med brøken i tælleren ved at forlænge brøken med udtrykket cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tangens kan vi nu opdele i kvotienten sin(x)/cos(x). Men fordi vi har tangens i anden, får vi også i brøken tæller og nævner i anden. Bagefter kan vi straks forkorte cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Det er det endelige resultat af differentiationen.

Tredje eksempel

Beregn den afledede af funktionen

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Hvis det ikke er tydeligt at se — det er alt sammen eksponenter, altså »x opløftet i x opløftet i en halv«. I det første trin foretager vi først en omskrivning efter formlen:

$$x=e^{\ln x}$$

Ved hjælp af denne formel omskriver vi det første x i vores eksempel:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nu anvender vi formlen til regning med potenser:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Vi fjerner parenteserne og sætter den højeste eksponent i produkt med logaritmen:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Nu har vi funktionen på en form, hvor den er lettere at differentiere. Der er tale om en sammensat funktion, og som sådan differentierer vi den. Den første funktion er e^x, hvor vi for x indsætter hele eksponenten, og den anden funktion står i eksponenten. Ved opdeling får vi altså:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Parentesen differentierer vi som et produkt, så vi anvender formlen for et produkt.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Den afledede af logaritmen er 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Nu differentierer vi det andet udtryk efter den klassiske formel for differentiation af potensfunktioner. Der gælder altså:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Vi indsætter dette resultat i vores beregning:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Vi kan stadig omskrive det første produkt, igen ved hjælp af formlerne til regning med potenser:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Vi omskriver det foregående udtryk ved hjælp af den beregning, vi netop har lavet:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Og til sidst flytter vi logaritmen op i brøkens tæller:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Den første brøk kan vi forlænge med to, og så kan vi lægge brøkerne sammen:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nu kan vi vende tilbage til hele den afledede:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Til sidst erstatter vi e^{ln x} tilbage med x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Dermed har vi fået det endelige resultat.