Vektoriavaruuden kanta

Vektoriavaruuden V kanta on lineaarisesti riippumattomien vektorien joukko, jonka virittämä aliavaruus on V.

Miksi vektoriavaruuden kanta otetaan käyttöön

Olkoon annettuna vektoriavaruus V ja sen osajoukko W ⊂ V, jonka virittämä aliavaruus span(W) on yhtä suuri kuin avaruus V, eli span(W) = V. Esimerkki: olkoot W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} ja V = ℝ².

Selvästi pätee span(W) = ℝ². Joukossa W on vain kolme vektoria, ja silti sen avulla pystytään virittämisen ansiosta kuvaamaan koko ääretön vektorien joukko ℝ². Herää kysymys — voidaanko joukosta W poistaa vielä joitakin vektoreita niin, että ominaisuus span(W) = ℝ² säilyy?

Jos esimerkiksi poistettaisiin viimeinen vektori (2, 3), saataisiin joukko W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Myös tämän joukon virittämä aliavaruus on ℝ². Herää siis kysymys — mikä on pienin vektorijoukko, jonka virittämä aliavaruus on ℝ²?

Jos joukosta W₁ poistettaisiin kumpi tahansa kahdesta jäljellä olevasta vektorista, tämän joukon, merkitään sitä W₂, virittämä aliavaruus ei enää olisi ℝ². Esimerkiksi joukon W₂ = {(1, 0)} virittämä aliavaruus olisi span(W₂) = {(a, 0)  ∣  a ∈ ℝ}. Se ei varmasti ole sama kuin joukko ℝ², siitä puuttuu esimerkiksi vektori (0, 1).

Joukko W₁ = {(1, 0), (0, 1)} on siis minimaalinen vektorijoukko, jonka virittämä aliavaruus on avaruus ℝ². Lisäksi voivat kiinnostaa seuraavat kysymykset:

1. Onko olemassa jokin aivan toinen yhden alkion joukko, jonka virittämä aliavaruus olisi avaruus ℝ²?
2. Onko olemassa yksikäsitteinen pienin vektorijoukko, jonka virittämä aliavaruus olisi avaruus ℝ²?

Kuten jokainen iltapäivälehtien lukija tietää, jos lehden otsikko on kysymyksen muodossa, vastaus on ei, ja tässäkin tapauksessa on samoin. Ei ole olemassa yhden alkion joukkoa, jonka virittämä aliavaruus olisi ℝ². Todistus voidaan tehdä näin:

Onko olemassa yhden alkion joukkoa, jonka virittämä aliavaruus on ℝ²?

Oletetaan, että on olemassa joukko {x}, joka sisältää yhden vektorin x ja jonka kaikki lineaarikombinaatiot muodostavat avaruuden ℝ². Silloin täytyy olla olemassa reaaliluvut a₁, a₂, joille

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Miksi juuri nämä vektorit? Se on aivan yhdentekevää, mitkä vektorit valitaan, kunhan ne ovat lineaarisesti riippumattomia.

Merkitään x = (x₁, x₂). Silloin varmasti x₁, x₂ ≠ 0, sillä jos x₁ = 0, vektorin x lineaarikombinaationa olisi vaikea saada haluttua vektoria (1, 0). Sama pätee x₂:lle. Kirjoitetaan edellinen yhtälöryhmä auki:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Se kirjoitetaan yhtälöiksi:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Toisesta ja kolmannesta yhtälöstä seuraa, että a₁ = a₂ = 0, koska jos x₁, x₂ ≠ 0, ainoa mahdollisuus on a₁ = a₂ = 0, jotta tuloissa a₁ · x₂ ja a₂ · x₁ saadaan nolla. Tämä on kuitenkin ristiriidassa ensimmäisen ja neljännen yhtälön kanssa, sillä jos a₁ = 0, niin a₁ · x₁ = 0, mutta ensimmäinen yhtälö sanoo, että a₁ · x₁ = 1.

Mikään yhden alkion joukko ei siis voi virittää avaruutta ℝ².

Onko olemassa pienintä vektorijoukkoa, jonka virittämä aliavaruus on ℝ²?

Tiedetään, että ei ole olemassa yhden alkion joukkoa, jolla on tämä ominaisuus, ja tiedetään, että joukon W = {(1, 0), (0, 1)} virittämä aliavaruus on ℝ². Kysytään siis, onko tämä joukko ainoa kahden alkion joukko, jonka virittämä aliavaruus on ℝ².

Ei tietenkään ole, sillä myös toisen kahden alkion joukon W = {(2, 0), (0, 2)} virittämä aliavaruus on ℝ². Mikä tahansa vektoripari (a, 0), (0, a), a ∈ ℝ, a ≠ 0, virittää avaruuden ℝ². Itse asiassa mikä tahansa lineaarisesti riippumattomien vektorien pari virittää avaruuden ℝ². Kahden alkion joukkoja, jotka voivat virittää avaruuden ℝ², on siis äärettömän monta.

Samalla pätee, että mikä tahansa kolmen alkion osajoukko W₃ ⊆ ℝ² koostuu riippuvista vektoreista. Miksi? Jos on kolme vektoria (a, b), (c, d), (e, f), ne voidaan kirjoittaa matriisiin:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Tämän matriisin aste on enintään kaksi, joten siinä täytyy välttämättä olla jokin lineaarisesti riippuva sarake/vektori.

Vektoriavaruuden kannan määritelmä

Olkoon annettuna vektoriavaruus V. Olkoon lisäksi B ⊆ V. Sanotaan, että B on vektoriavaruuden V kanta, jos pätee:

1. span(B) = V
2. B on lineaarisesti riippumaton vektorijoukko.

Kanta on riippumaton vektorijoukko, jonka virittämä aliavaruus on V. Kanta on siis minimaalinen vektorijoukko, jonka virittämä aliavaruus on V. Pätee, että jos kannasta poistettaisiin yksi alkio, virittämä aliavaruus ei enää olisi V. Jos lisättäisiin yksi vektori, tämä vektori olisi muiden vektorien lineaarikombinaatio.

Avaruudessa ℝⁿ pätee, että järjestettyjen n-monikkojen joukko (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1) muodostaa avaruuden ℝⁿ kannan, ja tätä kantaa sanotaan standardikannaksi. Esimerkiksi avaruudelle ℝ³ saataisiin standardikanta (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Silloin pätisi, että vektori (a, b, c) saataisiin kombinaationa

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Jos poistettaisiin vektori (0, 1, 0), tämän uuden joukon virittämä aliavaruus ei olisi ℝ³. Jos lisättäisiin vektori (14, −2, 5), tämä vektori olisi muiden vektorien lineaarikombinaatio kertoimilla a = 14, b = −2, c = 5.

Vektoriavaruuden kannan perusominaisuudet

• Jokaisella lineaariavaruudella V on kanta, ja triviaalin avaruuden {0} — avaruuden, joka sisältää vain yhden vektorin, nollavektorin — kanta on tyhjä joukko. Jokainen lineaarisesti riippumaton joukko B₀ ⊆ V on joko avaruuden V kanta tai se voidaan täydentää kannaksi. Jos B₀ ei ole kanta, eli span(B₀) ≠ V, on olemassa vektori x₀ ∈ V ∖ span(B₀). Tämä vektori ei ole joukon B₀ vektorien kombinaatio. Lisätään se joukkoon B₀, jolloin saadaan uusi joukko B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Voidaan taas sanoa, että B₁ on joko kanta tai se voidaan täydentää kannaksi. Jos avaruudella V on äärellinen kanta, äärellisen monessa vaiheessa saadaan riippumattomien vektorien joukko B_n, joka on avaruuden V kanta.

• Avaruuden kanta ei ole yksikäsitteinen, kantoja on aina useita.

• Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta alkiota/vektoria, tai ne ovat äärettömiä. Esimerkiksi avaruuden ℝ² kaikissa kannoissa on kaksi vektoria, mikään kolmen alkion joukko eikä yhden alkion joukko ole avaruuden ℝ² kanta.

• Jos avaruudella V on kanta B = {e₁, …, e_n}, pätee, että jokainen avaruuden V vektori x voidaan esittää kannan vektorien lineaarikombinaationa, eli on olemassa reaaliset kertoimet a₁, …, a_n, joille

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Samalla pätee, että nämä kertoimet ovat yksikäsitteiset. Eli jos joillekin kertoimille b₁, … b_n pätisi, että

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  sen täytyy tarkoittaa, että a₁ = b₁, …, a_n = b_n.