Basis eines Vektorraums

Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, deren lineare Hülle der Raum V ist.

Motivation für die Einführung der Basis eines Vektorraums

Sei V ein Vektorraum und W ⊂ V eine Teilmenge, deren lineare Hülle ⟨W⟩ gleich dem Raum V ist, also ⟨W⟩ = V. Beispiel: Sei W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} und V = ℝ².

Offensichtlich gilt ⟨W⟩ = ℝ². Die Menge W hat nur drei Vektoren, und trotzdem können wir mit ihr dank der linearen Hülle die ganze unendliche Menge der Vektoren ℝ² beschreiben. Es drängt sich die Frage auf – können wir aus der Menge W noch weitere Vektoren entfernen und dabei die Eigenschaft ⟨W⟩ = ℝ² erhalten?

Wenn wir zum Beispiel den letzten Vektor (2, 3) weglassen, erhalten wir die Menge W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Die lineare Hülle dieser Menge ist wieder ℝ². Es stellt sich also die Frage – welche kleinste Menge von Vektoren hat als lineare Hülle die Menge ℝ²?

Würden wir aus W₁ einen der beiden verbleibenden Vektoren entfernen, hätte diese Menge, nennen wir sie W₂, nicht mehr die Menge ℝ² als Hülle. Die lineare Hülle der Menge W₂ = {(1, 0)} wäre zum Beispiel die Menge ⟨W₂⟩ = {[a,0] ∣ a ∈ ℝ}. Diese ist sicher nicht gleich der Menge ℝ², es fehlt dort beispielsweise der Vektor (0, 1).

Die Menge W₁ = {(1, 0), (0, 1)} ist also eine minimale Menge von Vektoren, deren lineare Hülle der Raum ℝ² ist. Weitere Fragen, die uns interessieren können:

1. Gibt es irgendeine ganz andere einelementige Menge, deren lineare Hülle der Raum ℝ² wäre?
2. Gibt es eine eindeutige kleinste Menge von Vektoren, deren lineare Hülle der Raum ℝ² wäre?

Wie wir alle aus der Boulevardpresse wissen, lautet die Antwort nein, wenn die Schlagzeile einer Zeitung als Frage formuliert ist, und hier ist es genauso. Es gibt keine einelementige Menge, die ℝ² als lineare Hülle hätte. Den Beweis können wir so führen:

Gibt es eine einelementige Menge, deren Hülle ℝ² ist?

Nehmen wir an, es gäbe eine Menge {x} mit einem Vektor x, deren sämtliche Linearkombinationen den Raum ℝ² bilden. Dann müssen reelle Zahlen a₁, a₂ existieren, sodass

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Warum gerade diese Vektoren? Es ist ziemlich egal, welche Vektoren wir wählen, wichtig ist nur, dass sie linear unabhängig sind.

Bezeichnen wir x = (x₁, x₂). Dann gilt sicher x₁, x₂ ≠ 0, denn wäre x₁ = 0, könnten wir durch eine Linearkombination des Vektors x kaum den gewünschten Vektor (1, 0) erhalten. Dasselbe gilt für x₂. Das vorherige Gleichungssystem schreiben wir nur aus:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Das schreiben wir in Gleichungen aus:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Aus der zweiten und dritten Gleichung folgt a₁ = a₂ = 0, denn wenn x₁, x₂ ≠ 0, bleibt nur die Möglichkeit a₁ = a₂ = 0, damit wir in den Produkten a₁ · x₂ und a₂ · x₁ null erhalten. Das steht aber im Widerspruch zur ersten und vierten Gleichung, denn wenn a₁ = 0, dann ist a₁ · x₁ = 0, die erste Gleichung besagt aber a₁ · x₁ = 1.

Keine einelementige Menge kann also den Raum ℝ² als lineare Hülle haben.

Gibt es eine kleinste Menge von Vektoren, deren Hülle ℝ² ist?

Wir wissen, dass es keine einelementige Menge mit dieser Eigenschaft gibt, und wir wissen, dass die Menge W = {(1, 0), (0, 1)} als lineare Hülle ℝ² hat. Wir fragen uns also, ob diese Menge die einzige zweielementige Menge ist, die ℝ² als Hülle hat.

Natürlich nicht, denn auch eine andere zweielementige Menge W = {(2, 0), (0, 2)} hat die Hülle ℝ². Jedes Paar von Vektoren [a,0], [0,a], a ∈ ℝ, a ≠ 0 hat als Hülle ℝ². Tatsächlich hat jedes Paar linear unabhängiger Vektoren als Hülle ℝ². Es gibt also unendlich viele zweielementige Mengen, die mit ihrer Hülle ℝ² erzeugen können.

Zugleich gilt, dass jede dreielementige Teilmenge W₃ ⊆ ℝ² aus linear abhängigen Vektoren besteht. Warum? Wenn wir drei Vektoren (a, b), (c, d), (e, f) haben, können wir sie in eine Matrix schreiben:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Diese Matrix hat einen Rang von höchstens zwei, es muss dort also notwendigerweise eine linear abhängige Spalte bzw. einen linear abhängigen Vektor geben.

Definition der Basis eines Vektorraums

Sei V ein Vektorraum und B ⊆ V. Wir sagen, dass B eine Basis des Vektorraums V ist, wenn gilt:

1. ⟨B⟩ = V
2. B ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren.

Eine Basis ist eine unabhängige Menge von Vektoren, deren Hülle der Raum V ist. Die Basis stellt also eine minimale Menge von Vektoren dar, deren Hülle der Raum V ist. Es gilt: Würden wir aus der Basis ein Element entfernen, wäre die Hülle nicht mehr der Raum V. Würden wir einen Vektor hinzufügen, wäre dieser Vektor eine Linearkombination der übrigen Vektoren.

Bewegen wir uns im Raum ℝⁿ, dann bildet die Menge der n-Tupel [1, 0,…,0], [0, 1, 0,…,0], …, [0, 0,…,0, 1] eine Basis des Raums ℝⁿ, und diese Basis heißt Standardbasis. Für ℝ³ erhielten wir zum Beispiel die Standardbasis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dabei würde gelten, dass wir den Vektor [a,b,c] als Kombination

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

erhalten. Würden wir den Vektor (0, 1, 0) entfernen, wäre die Hülle dieser neuen Menge nicht ℝ³. Würden wir den Vektor (14, −2, 5) hinzufügen, wäre dieser Vektor eine Linearkombination der übrigen Vektoren mit den Koeffizienten a = 14, b = −2, c = 5.

Grundlegende Eigenschaften der Basis eines Vektorraums

• Jeder lineare Raum V hat eine Basis; beim Nullvektorraum {0} – dem Raum, der nur einen einzigen Vektor enthält, den Nullvektor – ist es die leere Menge. Jede linear unabhängige Menge B₀ ⊆ V ist entweder eine Basis des Raums V oder lässt sich zu einer Basis ergänzen. Ist B₀ keine Basis, d. h. ⟨B₀⟩ ≠ V, dann existiert ein Vektor x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Dieser Vektor ist keine Kombination von Vektoren aus B₀. Wir fügen ihn zur Menge B₀ hinzu und erhalten eine neue Menge B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Wieder können wir sagen, dass B₁ entweder eine Basis ist oder sich zu einer Basis ergänzen lässt. Hat der Raum V eine endliche Basis, dann erhalten wir in endlich vielen Schritten eine Menge unabhängiger Vektoren B_n, die eine Basis des Raums V ist.

• Die Basis eines Raums ist nicht eindeutig bestimmt, es gibt immer mehrere Basen.

• Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Anzahl an Elementen bzw. Vektoren oder sind unendlich. Zum Beispiel haben alle Basen des Raums ℝ² zwei Vektoren, keine Menge mit drei Elementen und keine Menge mit einem Element ist eine Basis des Raums ℝ².

• Haben wir eine Basis B = {e₁, …, e_n} des Raums V, dann gilt, dass wir jeden Vektor x aus dem Raum V als Linearkombination der Vektoren aus der Basis darstellen können, d. h. es existieren reelle Koeffizienten a₁, …, a_n, sodass

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Dabei sind diese Koeffizienten eindeutig. D. h. wenn für Koeffizienten b₁, … b_n gälte, dass

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  dann muss das bedeuten, dass a₁ = b₁, …, a_n = b_n.