Baza unui spațiu vectorial

Baza unui spațiu vectorial V este o mulțime de vectori liniar independenți a căror acoperire liniară este spațiul V.

Motivația introducerii bazei unui spațiu vectorial

Fie un spațiu vectorial V și o submulțime W ⊂ V astfel încât acoperirea liniară ⟨W⟩ a acestei mulțimi este egală cu spațiul V, adică ⟨W⟩ = V. Exemplu: fie W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} și V = ℝ².

Evident avem ⟨W⟩ = ℝ². Mulțimea W are doar trei vectori, și totuși, datorită acoperirii liniare, putem descrie cu ea întreaga mulțime infinită de vectori ℝ². Se pune întrebarea – mai putem elimina din mulțimea W niște vectori păstrând totodată proprietatea ⟨W⟩ = ℝ²?

Dacă am elimina, de exemplu, ultimul vector (2, 3), am obține mulțimea W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Acoperirea liniară a acestei mulțimi este din nou ℝ². Se pune astfel întrebarea – care este cea mai mică mulțime de vectori care are drept acoperire liniară mulțimea ℝ²?

Dacă am elimina din W₁ oricare dintre cei doi vectori rămași, această mulțime, să o notăm W₂, nu ar mai avea drept acoperire mulțimea ℝ². De exemplu, acoperirea liniară a mulțimii W₂ = {(1, 0)} ar fi mulțimea ⟨W₂⟩ = {(a,0) | a ∈ ℝ}. Aceasta cu siguranță nu este egală cu mulțimea ℝ², lipsește de exemplu vectorul (0, 1).

Mulțimea W₁ = {(1, 0), (0, 1)} este deci o mulțime minimală de vectori a cărei acoperire liniară este spațiul ℝ². Ne mai pot interesa și alte întrebări:

1. Există o cu totul altă mulțime cu un singur element a cărei acoperire liniară să fie spațiul ℝ²?
2. Există o singură mulțime minimă de vectori a cărei acoperire liniară să fie spațiul ℝ²?

După cum știm cu toții din presa de scandal, dacă titlul unui articol are forma unei întrebări, răspunsul este nu, iar în acest caz este la fel. Nu există o mulțime cu un singur element care să aibă acoperirea liniară ℝ². Demonstrația o putem face astfel:

Există o mulțime cu un singur element a cărei acoperire este ℝ²?

Presupunem că există o mulțime {x} care conține un singur vector x, ale cărui combinații liniare formează întregul spațiu ℝ². Atunci trebuie să existe numerele reale a₁, a₂ astfel încât

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

De ce tocmai acești vectori? Este destul de indiferent ce vectori alegem, important este doar să fie liniar independenți.

Notăm x = (x₁, x₂). Atunci cu siguranță x₁, x₂ ≠ 0, deoarece dacă ar fi x₁ = 0, cu greu am obține printr-o combinație liniară a vectorului x vectorul dorit (1, 0). Același lucru este valabil pentru x₂. Scriem desfășurat sistemul de ecuații anterior:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Îl scriem pe componente:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Din a doua și a treia ecuație rezultă a₁ = a₂ = 0, deoarece, dacă x₁, x₂ ≠ 0, singura posibilitate rămasă este a₁ = a₂ = 0, pentru a obține zero în produsele a₁ · x₂ și a₂ · x₁. Aceasta este însă în contradicție cu prima și a patra ecuație, deoarece dacă a₁ = 0, atunci a₁ · x₁ = 0, dar prima ecuație spune că a₁ · x₁ = 1.

Nicio mulțime cu un singur element nu poate avea deci drept acoperire liniară spațiul ℝ².

Există o mulțime minimă de vectori a cărei acoperire este ℝ²?

Știm că nu există o mulțime cu un singur element cu această proprietate și știm că mulțimea W = {(1, 0), (0, 1)} are drept acoperire liniară ℝ². Ne întrebăm deci dacă această mulțime este singura mulțime cu două elemente care are drept acoperire ℝ².

Desigur că nu este, deoarece și altă mulțime cu două elemente, W = {(2, 0), (0, 2)}, are acoperirea ℝ². Orice pereche de vectori (a,0), (0,a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 are drept acoperire ℝ². De fapt, orice pereche de vectori liniar independenți are drept acoperire ℝ². Există deci o infinitate de mulțimi cu două elemente care pot genera ℝ² prin acoperirea lor.

Totodată, orice submulțime cu trei elemente W₃ ⊆ ℝ² va fi formată din vectori dependenți. De ce? Dacă avem trei vectori (a, b), (c, d), (e, f), îi putem scrie într-o matrice:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Această matrice are rangul cel mult doi, deci trebuie neapărat să existe în ea o coloană/un vector liniar dependent.

Definiția bazei unui spațiu vectorial

Fie un spațiu vectorial V. Fie în plus B ⊆ V. Spunem că B este bază a spațiului vectorial V dacă:

1. ⟨B⟩ = V
2. B este o mulțime de vectori liniar independenți.

Baza este o mulțime de vectori independenți a căror acoperire este spațiul V. Baza reprezintă deci o mulțime minimală de vectori a căror acoperire este spațiul V. Dacă am elimina din bază un element, acoperirea nu ar mai fi spațiul V. Dacă am adăuga un vector, acest vector ar fi o combinație liniară a celorlalți vectori.

Dacă ne aflăm în spațiul ℝⁿ, atunci mulțimea de n-upluri (1, 0,…,0), (0, 1, 0,…,0), …, (0, 0,…,0, 1) formează o bază a spațiului ℝⁿ, iar această bază se numește baza standard (canonică). De exemplu, pentru ℝ³ am obține baza standard (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Atunci vectorul (a,b,c) l-am obține ca o combinație

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Dacă am elimina vectorul (0, 1, 0), acoperirea acestei mulțimi noi nu ar fi ℝ³. Dacă am adăuga vectorul (14, −2, 5), acest vector ar fi o combinație liniară a celorlalți vectori cu coeficienții a = 14, b = −2, c = 5.

Proprietățile bazei unui spațiu vectorial

• Orice spațiu liniar V are o bază; pentru spațiul trivial {0} – spațiul care conține un singur vector, cel nul – baza este mulțimea vidă. Orice mulțime liniar independentă B₀ ⊆ V este fie bază a spațiului V, fie poate fi completată până la o bază. Dacă B₀ nu este bază, adică ⟨B₀⟩ ≠ V, atunci există un vector x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Acest vector nu este o combinație a vectorilor din B₀. Îl adăugăm la mulțimea B₀ și obținem o mulțime nouă B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Putem spune din nou că B₁ este fie bază, fie poate fi completată până la o bază. Dacă spațiul V are o bază finită, atunci într-un număr finit de pași obținem o mulțime de vectori independenți B_n, care va fi bază a spațiului V.

• Baza unui spațiu nu este determinată în mod unic, există întotdeauna mai multe baze.

• Toate bazele unui spațiu vectorial au același număr de elemente/vectori sau sunt infinite. De exemplu, toate bazele spațiului ℝ² au doi vectori, nicio mulțime cu trei elemente și nicio mulțime cu un element nu este bază a spațiului ℝ².

• Dacă avem o bază B = {e₁, …, e_n} a spațiului V, atunci orice vector x din spațiul V îl putem exprima ca o combinație liniară a vectorilor din bază, adică există coeficienți reali a₁, …, a_n astfel încât

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Acești coeficienți sunt unici. Adică, dacă pentru coeficienții b₁, … b_n am avea

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  atunci aceasta trebuie să însemne că a₁ = b₁, …, a_n = b_n.