Βάση διανυσματικού χώρου

Βάση ενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, των οποίων η γραμμική θήκη είναι ο χώρος V.

Κίνητρο για τον ορισμό της βάσης διανυσματικού χώρου

Έστω ένας διανυσματικός χώρος V και ένα υποσύνολο W ⊂ V τέτοιο ώστε η γραμμική θήκη ⟨W⟩ αυτού του συνόλου να είναι ίση με τον χώρο V, δηλαδή ⟨W⟩ = V. Παράδειγμα: έστω W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} και V = ℝ².

Προφανώς ισχύει ⟨W⟩ = ℝ². Το σύνολο W έχει μόνο τρία διανύσματα, κι όμως με αυτό μπορούμε, χάρη στη γραμμική θήκη, να περιγράψουμε ολόκληρο το άπειρο σύνολο διανυσμάτων του ℝ². Προκύπτει το ερώτημα – μπορούμε να αφαιρέσουμε από το σύνολο W κι άλλα διανύσματα και παρ' όλα αυτά να διατηρήσουμε την ιδιότητα ⟨W⟩ = ℝ²;

Αν για παράδειγμα πετάξουμε το τελευταίο διάνυσμα (2, 3), παίρνουμε το σύνολο W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Γραμμική θήκη αυτού του συνόλου είναι πάλι ο ℝ². Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα – ποιο είναι το μικρότερο σύνολο διανυσμάτων που έχει ως γραμμική θήκη το σύνολο ℝ²;

Αν από το W₁ αφαιρέσουμε οποιοδήποτε από τα δύο διανύσματα που απομένουν, το σύνολο αυτό, ας το ονομάσουμε W₂, δεν θα έχει πια ως θήκη το σύνολο ℝ². Π.χ. γραμμική θήκη του συνόλου W₂ = {(1, 0)} θα ήταν το σύνολο ⟨W₂⟩ = {(a,0) | a ∈ ℝ}. Αυτό σίγουρα δεν ισούται με το σύνολο ℝ², λείπει εκεί για παράδειγμα το διάνυσμα (0, 1).

Το σύνολο W₁ = {(1, 0), (0, 1)} είναι λοιπόν ένα ελάχιστο σύνολο διανυσμάτων, του οποίου η γραμμική θήκη είναι ο χώρος ℝ². Μας ενδιαφέρουν και άλλα ερωτήματα:

1. Υπάρχει κάποιο εντελώς διαφορετικό μονοσύνολο, του οποίου η γραμμική θήκη να είναι ο χώρος ℝ²;
2. Υπάρχει κάποιο μοναδικό ελάχιστο σύνολο διανυσμάτων, του οποίου η γραμμική θήκη να είναι ο χώρος ℝ²;

Όπως ξέρουμε όλοι από τον κίτρινο Τύπο, αν ο τίτλος μιας εφημερίδας είναι ερώτηση, η απάντηση είναι όχι και σε αυτή την περίπτωση ισχύει το ίδιο. Δεν υπάρχει μονοσύνολο που να έχει γραμμική θήκη τον ℝ². Την απόδειξη μπορούμε να την κάνουμε ως εξής:

Υπάρχει μονοσύνολο με θήκη τον ℝ²;

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα σύνολο {x} που περιέχει ένα διάνυσμα x, του οποίου όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί αποτελούν τον χώρο ℝ². Τότε πρέπει να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a₁, a₂ τέτοιοι ώστε

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Γιατί αυτά ακριβώς τα διανύσματα; Δεν έχει σχεδόν σημασία ποια διανύσματα θα επιλέξουμε, αρκεί να είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Έστω x = (x₁, x₂). Τότε σίγουρα x₁, x₂ ≠ 0, επειδή αν ήταν x₁ = 0, δύσκολα θα παίρναμε με γραμμικό συνδυασμό του διανύσματος x το επιθυμητό διάνυσμα (1, 0). Το ίδιο ισχύει για το x₂. Το προηγούμενο σύστημα εξισώσεων απλώς το αναπτύσσουμε:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Το αναπτύσσουμε σε εξισώσεις:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση προκύπτει ότι a₁ = a₂ = 0, επειδή αν x₁, x₂ ≠ 0, τότε μένει μόνο η δυνατότητα a₁ = a₂ = 0, ώστε στα γινόμενα a₁ · x₂ και a₂ · x₁ να πάρουμε μηδέν. Αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με την πρώτη και την τέταρτη εξίσωση, επειδή αν a₁ = 0, τότε a₁ · x₁ = 0, ενώ η πρώτη εξίσωση λέει ότι a₁ · x₁ = 1.

Κανένα σύνολο με ένα στοιχείο δεν μπορεί λοιπόν να έχει ως γραμμική θήκη τον χώρο ℝ².

Υπάρχει ελάχιστο σύνολο διανυσμάτων με θήκη τον ℝ²;

Ξέρουμε ότι δεν υπάρχει μονοσύνολο με αυτή την ιδιότητα και ξέρουμε ότι το σύνολο W = {(1, 0), (0, 1)} έχει ως γραμμική θήκη τον ℝ². Ρωτάμε λοιπόν αν αυτό το σύνολο είναι το μοναδικό σύνολο δύο στοιχείων που έχει ως θήκη τον ℝ².

Φυσικά δεν είναι, επειδή και ένα άλλο σύνολο δύο στοιχείων W = {(2, 0), (0, 2)} έχει θήκη τον ℝ². Οποιοδήποτε ζεύγος διανυσμάτων (a,0), (0,a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 έχει ως θήκη τον ℝ². Στην πραγματικότητα οποιοδήποτε ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων έχει ως θήκη τον ℝ². Υπάρχουν έτσι άπειρα σύνολα δύο στοιχείων που με τη θήκη τους μπορούν να παράγουν τον ℝ².

Ταυτόχρονα, οποιοδήποτε υποσύνολο τριών στοιχείων W₃ ⊆ ℝ² θα αποτελείται από εξαρτημένα διανύσματα. Γιατί; Αν έχουμε τρία διανύσματα (a, b), (c, d), (e, f), μπορούμε να τα γράψουμε σε έναν πίνακα:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Αυτός ο πίνακας έχει τάξη το πολύ δύο, άρα πρέπει αναγκαστικά να υπάρχει κάποια γραμμικά εξαρτημένη στήλη/διάνυσμα.

Ορισμός της βάσης διανυσματικού χώρου

Έστω ένας διανυσματικός χώρος V. Έστω ακόμα B ⊆ V. Λέμε ότι το B είναι βάση του διανυσματικού χώρου V, αν ισχύει:

1. ⟨B⟩ = V
2. Το B είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων.

Βάση είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων, του οποίου η θήκη είναι ο χώρος V. Η βάση αποτελεί έτσι ένα ελάχιστο σύνολο διανυσμάτων, του οποίου η θήκη είναι ο χώρος V. Ισχύει ότι αν αφαιρέσουμε από τη βάση ένα στοιχείο, η θήκη δεν θα είναι πια ο χώρος V. Αν προσθέσουμε ένα διάνυσμα, αυτό το διάνυσμα θα είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων διανυσμάτων.

Αν κινούμαστε στον χώρο ℝⁿ, ισχύει ότι το σύνολο των n-άδων (1, 0,…,0), (0, 1, 0,…,0), …, (0, 0,…,0, 1) αποτελεί βάση του χώρου ℝⁿ και αυτή η βάση ονομάζεται συνήθης βάση. Π.χ. για τον ℝ³ θα παίρναμε τη συνήθη βάση (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Τότε θα ίσχυε ότι το διάνυσμα (a,b,c) θα το παίρναμε ως συνδυασμό

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Αν αφαιρούσαμε το διάνυσμα (0, 1, 0), η θήκη αυτού του νέου συνόλου δεν θα ήταν ο ℝ³. Αν προσθέταμε το διάνυσμα (14, −2, 5), αυτό το διάνυσμα θα ήταν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων διανυσμάτων με συντελεστές a = 14, b = −2, c = 5.

Βασικές ιδιότητες της βάσης διανυσματικού χώρου

• Κάθε γραμμικός χώρος V έχει βάση· για τον μηδενικό χώρο {0} – τον χώρο που περιέχει ένα μόνο διάνυσμα, το μηδενικό – βάση είναι το κενό σύνολο. Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο B₀ ⊆ V είτε είναι βάση του χώρου V είτε μπορεί να συμπληρωθεί σε βάση. Αν το B₀ δεν είναι βάση, δηλαδή ⟨B₀⟩ ≠ V, τότε υπάρχει διάνυσμα x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Αυτό το διάνυσμα δεν είναι συνδυασμός διανυσμάτων του B₀. Το προσθέτουμε στο σύνολο B₀ και παίρνουμε ένα νέο σύνολο B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Πάλι μπορούμε να πούμε ότι το B₁ είτε είναι βάση είτε μπορεί να συμπληρωθεί σε βάση. Αν ο χώρος V έχει πεπερασμένη βάση, τότε σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων παίρνουμε ένα σύνολο ανεξάρτητων διανυσμάτων B_n, που θα είναι βάση του χώρου V.

• Η βάση ενός χώρου δεν ορίζεται μονοσήμαντα, υπάρχουν πάντα περισσότερες βάσεις.

• Όλες οι βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων/διανυσμάτων ή είναι άπειρες. Για παράδειγμα, όλες οι βάσεις του χώρου ℝ² έχουν δύο διανύσματα, κανένα σύνολο με τρία στοιχεία ούτε σύνολο με ένα στοιχείο δεν είναι βάση του χώρου ℝ².

• Αν έχουμε βάση B = {e₁, …, e_n} του χώρου V, τότε ισχύει ότι κάθε διάνυσμα x του χώρου V μπορούμε να το εκφράσουμε ως γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων της βάσης, δηλαδή υπάρχουν πραγματικοί συντελεστές a₁, …, a_n τέτοιοι ώστε

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Ταυτόχρονα ισχύει ότι αυτοί οι συντελεστές είναι μοναδικοί. Δηλαδή αν για συντελεστές b₁, … b_n ίσχυε ότι

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  τότε αυτό πρέπει να σημαίνει ότι a₁ = b₁, …, a_n = b_n.