Base de un espacio vectorial

Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio V.

Motivación para introducir la base de un espacio vectorial

Sean V un espacio vectorial y W ⊂ V un subconjunto tal que el subespacio generado ⟨W⟩ por este conjunto es igual al espacio V, es decir, ⟨W⟩ = V. Ejemplo: sean W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} y V = ℝ².

Evidentemente, se cumple que ⟨W⟩ = ℝ². El conjunto W tiene solo tres vectores y, aun así, gracias al subespacio generado, con él podemos describir todo el conjunto infinito de vectores ℝ². Surge la pregunta: ¿podemos quitar algún vector más del conjunto W y conservar la propiedad ⟨W⟩ = ℝ²?

Si, por ejemplo, quitáramos el último vector (2, 3), obtendríamos el conjunto W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. El subespacio generado por este conjunto es de nuevo ℝ². Surge así otra pregunta: ¿cuál es el conjunto de vectores más pequeño que genera el conjunto ℝ²?

Si de W₁ quitáramos cualquiera de los dos vectores restantes, este conjunto, al que llamaremos W₂, ya no generaría ℝ². Por ejemplo, el subespacio generado por el conjunto W₂ = {(1, 0)} sería el conjunto ⟨W₂⟩ = {(a,0)  ∣  a ∈ ℝ}. Desde luego, no es igual al conjunto ℝ²; falta, por ejemplo, el vector (0, 1).

El conjunto W₁ = {(1, 0), (0, 1)} es, por tanto, un conjunto mínimo de vectores que genera el espacio ℝ². Además, nos pueden interesar otras preguntas:

1. ¿Existe algún otro conjunto de un solo elemento, totalmente distinto, que genere el espacio ℝ²?
2. ¿Existe un único conjunto mínimo de vectores que genere el espacio ℝ²?

Como todos sabemos por la prensa sensacionalista, si el titular de un periódico tiene forma de pregunta, la respuesta es no, y en este caso ocurre lo mismo. No existe ningún conjunto de un solo elemento cuyo subespacio generado sea ℝ². La demostración puede hacerse así:

¿Existe un conjunto de un solo elemento que genere ℝ²?

Supongamos que existe un conjunto {x} que contiene un solo vector x y cuyas combinaciones lineales forman el espacio ℝ². Entonces tienen que existir números reales a₁, a₂ tales que

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

¿Por qué justo estos vectores? Da más o menos igual cuáles elijamos; lo único que importa es que sean linealmente independientes.

Denotemos x = (x₁, x₂). Entonces sin duda x₁, x₂ ≠ 0, porque si fuera x₁ = 0, difícilmente obtendríamos mediante una combinación lineal del vector x el vector deseado (1, 0). Lo mismo vale para x₂. Desarrollamos el sistema de ecuaciones anterior:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Lo escribimos en forma de ecuaciones:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

De la segunda y la tercera ecuación se deduce que a₁ = a₂ = 0, porque si x₁, x₂ ≠ 0, solo queda la posibilidad de que a₁ = a₂ = 0 para obtener cero en los productos a₁ · x₂ y a₂ · x₁. Pero esto contradice la primera y la cuarta ecuación, porque si a₁ = 0, entonces a₁ · x₁ = 0, mientras que la primera ecuación dice que a₁ · x₁ = 1.

Por tanto, ningún conjunto de un solo elemento puede generar el espacio ℝ².

¿Existe un conjunto mínimo de vectores que genere ℝ²?

Sabemos que no existe ningún conjunto de un solo elemento con esta propiedad y sabemos que el conjunto W = {(1, 0), (0, 1)} genera ℝ². Nos preguntamos, pues, si este conjunto es el único conjunto de dos elementos que genera ℝ².

Por supuesto que no, porque también otro conjunto de dos elementos, W = {(2, 0), (0, 2)}, genera ℝ². Cualquier pareja de vectores (a,0), (0,a), con a ∈ ℝ, a ≠ 0, genera ℝ². De hecho, cualquier pareja de vectores linealmente independientes genera ℝ². Existen, por tanto, infinitos conjuntos de dos elementos que pueden generar ℝ².

Al mismo tiempo, cualquier subconjunto W₃ ⊆ ℝ² de tres elementos estará formado por vectores dependientes. ¿Por qué? Si tenemos tres vectores (a, b), (c, d), (e, f), podemos escribirlos en una matriz:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

El rango de esta matriz es como máximo dos, así que forzosamente tiene que haber alguna columna (vector) linealmente dependiente.

Definición de base de un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial y sea B ⊆ V. Decimos que B es una base del espacio vectorial V si se cumple que:

1. ⟨B⟩ = V
2. B es un conjunto linealmente independiente de vectores.

Una base es un conjunto independiente de vectores que genera el espacio V. La base representa, por tanto, un conjunto mínimo de vectores que genera el espacio V. Se cumple que, si quitáramos de la base un elemento, ya no generaría el espacio V. Si añadiéramos un vector, este vector sería una combinación lineal de los demás vectores.

Si nos movemos en el espacio ℝⁿ, el conjunto de n-uplas (1, 0,…,0), (0, 1, 0,…,0), …, (0, 0,…,0, 1) forma una base del espacio ℝⁿ, y esta base se llama base canónica. Por ejemplo, para ℝ³ obtendríamos la base canónica (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Entonces el vector (a,b,c) lo obtendríamos como la combinación

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Si quitáramos el vector (0, 1, 0), el subespacio generado por este nuevo conjunto no sería ℝ³. Si añadiéramos el vector (14, −2, 5), este vector sería una combinación lineal de los demás vectores con coeficientes a = 14, b = −2, c = 5.

Propiedades básicas de la base de un espacio vectorial

• Todo espacio vectorial V tiene una base; en el caso del espacio nulo {0}, el espacio que contiene un único vector, el vector nulo, la base es el conjunto vacío. Todo conjunto linealmente independiente B₀ ⊆ V es una base del espacio V o bien se puede completar hasta una base. Si B₀ no es una base, es decir, ⟨B₀⟩ ≠ V, entonces existe un vector x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Este vector no es combinación de vectores de B₀. Lo añadimos al conjunto B₀ y obtenemos un conjunto nuevo B₁ = B₀ ∪ {x₀}. De nuevo podemos decir que B₁ es una base o bien se puede completar hasta una base. Si el espacio V tiene una base finita, en un número finito de pasos obtenemos un conjunto de vectores independientes B_n que será una base del espacio V.

• La base de un espacio no está determinada de forma única; siempre existen varias bases.

• Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos (vectores) o son infinitas. Por ejemplo, todas las bases del espacio ℝ² tienen dos vectores; ningún conjunto de tres elementos ni ningún conjunto de un elemento es una base del espacio ℝ².

• Si tenemos una base B = {e₁, …, e_n} del espacio V, entonces todo vector x del espacio V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, existen coeficientes reales a₁, …, a_n tales que

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Además, estos coeficientes son únicos. Es decir, si para unos coeficientes b₁, … b_n se cumpliera que

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  esto tiene que significar que a₁ = b₁, …, a_n = b_n.