Base de um espaço vetorial

Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes cujo subespaço gerado é o espaço V.

Motivação para introduzir a base de um espaço vetorial

Considere um espaço vetorial V e algum subconjunto W ⊂ V tal que o subespaço gerado ⟨W⟩ por esse conjunto seja igual ao espaço V, isto é, ⟨W⟩ = V. Exemplo: seja W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} e V = ℝ².

Claramente vale que ⟨W⟩ = ℝ². O conjunto W tem apenas três vetores e, mesmo assim, graças ao subespaço gerado, conseguimos com ele descrever todo o conjunto infinito de vetores ℝ². Surge a pergunta — podemos retirar do conjunto W mais alguns vetores e, mesmo assim, manter a propriedade ⟨W⟩ = ℝ²?

Se, por exemplo, jogássemos fora o último vetor (2, 3), obteríamos o conjunto W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. O subespaço gerado por esse conjunto é novamente ℝ². Surge, então, a pergunta — qual é o menor conjunto de vetores que tem como subespaço gerado o conjunto ℝ²?

Se removêssemos de W₁ qualquer um dos dois vetores restantes, esse conjunto, que vamos chamar de W₂, já não teria como subespaço gerado o conjunto ℝ². Por exemplo, o subespaço gerado pelo conjunto W₂ = {(1, 0)} seria o conjunto ⟨W₂⟩ = {(a, 0) | a ∈ ℝ}. Isso certamente não é igual ao conjunto ℝ²; falta ali, por exemplo, o vetor (0, 1).

O conjunto W₁ = {(1, 0), (0, 1)} é, portanto, um conjunto minimal de vetores cujo subespaço gerado é o espaço ℝ². Podem nos interessar ainda outras perguntas:

1. Existe algum outro conjunto de um único elemento, completamente diferente, cujo subespaço gerado seja o espaço ℝ²?
2. Existe um único menor conjunto de vetores cujo subespaço gerado seja o espaço ℝ²?

Como todos sabemos pelos tabloides, se a manchete de um jornal tem a forma de uma pergunta, a resposta é não, e neste caso não é diferente. Não existe conjunto de um único elemento que tenha como subespaço gerado ℝ². A demonstração pode ser feita assim:

Existe um conjunto de um único elemento cujo subespaço gerado seja ℝ²?

Suponha que exista um conjunto {x} que contém um vetor x e cujas combinações lineares formam o espaço ℝ². Então devem existir números reais a₁, a₂ tais que

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Por que justamente esses vetores? Tanto faz quais vetores escolhemos, o importante é que sejam linearmente independentes.

Seja x = (x₁, x₂). Então certamente x₁, x₂ ≠ 0, porque, se x₁ = 0, dificilmente obteríamos por combinação linear do vetor x o vetor desejado (1, 0). O mesmo para x₂. Vamos apenas desenvolver o sistema de equações anterior:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Escrevemos isso em equações:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Da segunda e da terceira equações decorre que a₁ = a₂ = 0, porque, se x₁, x₂ ≠ 0, resta apenas a possibilidade de que a₁ = a₂ = 0, para obtermos zero nos produtos a₁ · x₂ e a₂ · x₁. O que, porém, contradiz a primeira e a quarta equações, porque, se a₁ = 0, então a₁ · x₁ = 0, mas a primeira equação diz que a₁ · x₁ = 1.

Nenhum conjunto de um único elemento pode, portanto, ter como subespaço gerado o espaço ℝ².

Existe um menor conjunto de vetores cujo subespaço gerado seja ℝ²?

Sabemos que não existe conjunto de um único elemento com essa propriedade e sabemos que o conjunto W = {(1, 0), (0, 1)} tem como subespaço gerado ℝ². Perguntamos, então, se esse conjunto é o único conjunto de dois elementos que tem por subespaço gerado ℝ².

É claro que não é, porque também outro conjunto de dois elementos W = {(2, 0), (0, 2)} tem subespaço gerado ℝ². Qualquer par de vetores (a, 0), (0, a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 tem como subespaço gerado ℝ². Na verdade, qualquer par de vetores linearmente independentes tem como subespaço gerado ℝ². Existem, portanto, infinitos conjuntos de dois elementos que podem gerar ℝ² com o seu subespaço gerado.

Ao mesmo tempo, vale que qualquer subconjunto de três elementos W₃ ⊆ ℝ² será formado por vetores dependentes. Por quê? Se temos três vetores (a, b), (c, d), (e, f), podemos escrevê-los em uma matriz:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Essa matriz tem posto no máximo dois, então deve existir nela necessariamente alguma coluna/vetor linearmente dependente.

Definição de base de um espaço vetorial

Considere um espaço vetorial V. Seja, além disso, B ⊆ V. Dizemos que B é uma base do espaço vetorial V se valem:

1. ⟨B⟩ = V
2. B é um conjunto linearmente independente de vetores.

Uma base é um conjunto independente de vetores cujo subespaço gerado é o espaço V. A base representa, portanto, um conjunto minimal de vetores cujo subespaço gerado é o espaço V. Vale que, se retirássemos da base um elemento, o subespaço gerado já não seria o espaço V. Se acrescentássemos um vetor, esse vetor seria uma combinação linear dos outros vetores.

Se estamos no espaço ℝⁿ, vale que o conjunto de n-uplas (1, 0,…,0), (0, 1, 0,…,0), …, (0, 0,…,0, 1) forma uma base do espaço ℝⁿ, e essa base é chamada de base canônica. Por exemplo, para ℝ³ obteríamos a base canônica (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Nesse caso, valeria que o vetor (a, b, c) seria obtido como a combinação

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Se removêssemos o vetor (0, 1, 0), o subespaço gerado por esse novo conjunto não seria ℝ³. Se acrescentássemos o vetor (14, −2, 5), esse vetor seria uma combinação linear dos outros vetores com os coeficientes a = 14, b = −2, c = 5.

Propriedades básicas da base de um espaço vetorial

• Todo espaço linear V tem uma base; no caso do espaço trivial {0} — o espaço que contém um único vetor, o nulo — ela é o conjunto vazio. Todo conjunto linearmente independente B₀ ⊆ V ou é uma base do espaço V ou pode ser completado até formar uma base. Se B₀ não é base, isto é, ⟨B₀⟩ ≠ V, então existe um vetor x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Esse vetor não é combinação de vetores de B₀. Acrescentamos esse vetor ao conjunto B₀ e obtemos um novo conjunto B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Novamente podemos dizer que B₁ ou é uma base ou pode ser completado até formar uma base. Se o espaço V tem uma base finita, então, em um número finito de passos, obtemos um conjunto de vetores independentes B_n que será uma base do espaço V.

• A base de um espaço não é determinada de forma única; sempre existem várias bases.

• Todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de elementos/vetores ou são infinitas. Por exemplo, todas as bases do espaço ℝ² têm dois vetores; nenhum conjunto de três elementos nem de um elemento é base do espaço ℝ².

• Se temos uma base B = {e₁, …, e_n} do espaço V, então vale que qualquer vetor x do espaço V pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base, isto é, existem coeficientes reais a₁, …, a_n tais que

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Além disso, vale que esses coeficientes são únicos. Isto é, se para coeficientes b₁, … b_n valesse que

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  isso deve significar que a₁ = b₁, …, a_n = b_n.