Vektör Uzayının Tabanı

V vektör uzayının tabanı, doğrusal germesi V uzayı olan doğrusal bağımsız vektörlerin kümesidir.

Vektör Uzayının Tabanı Neden Tanımlanır

Bir V vektör uzayı ve W ⊂ V olan bir alt küme verilsin; bu kümenin doğrusal germesi ⟨W⟩ uzaya eşit olsun, yani ⟨W⟩ = V. Örnek: W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} ve V = ℝ² olsun.

Açıkça ⟨W⟩ = ℝ² olur. W kümesinin yalnızca üç vektörü vardır, buna rağmen doğrusal germe sayesinde onunla ℝ² uzayının sonsuz vektör kümesinin tamamını tanımlayabiliyoruz. Şu soru akla geliyor: W kümesinden hâlâ vektör çıkarabilir miyiz ve yine de ⟨W⟩ = ℝ² özelliğini koruyabilir miyiz?

Örneğin sondaki (2, 3) vektörünü atarsak W₁ = {(1, 0), (0, 1)} kümesini elde ederiz. Bu kümenin doğrusal germesi yine ℝ² olur. O hâlde şu soru ortaya çıkar: doğrusal germesi ℝ² olan en küçük vektör kümesi hangisidir?

W₁ kümesinden kalan iki vektörden herhangi birini çıkarırsak, bu kümenin, ona W₂ diyelim, germesi artık ℝ² olmaz. Örneğin W₂ = {(1, 0)} kümesinin doğrusal germesi ⟨W₂⟩ = {[a,0]  ∣  a ∈ ℝ} kümesi olurdu. Bu küme elbette ℝ² kümesine eşit değildir; örneğin (0, 1) vektörü eksiktir.

Demek ki W₁ = {(1, 0), (0, 1)} kümesi, doğrusal germesi ℝ² uzayı olan minimal vektör kümesidir. Bunun dışında şu sorular da ilgimizi çekebilir:

1. Doğrusal germesi ℝ² uzayı olan, tamamen başka bir tek elemanlı küme var mı?
2. Doğrusal germesi ℝ² uzayı olan, tek ve en küçük bir vektör kümesi var mı?

Gazete manşeti soru biçimindeyse cevabın genellikle hayır olduğunu hepimiz biliriz; bu durumda da böyle. Doğrusal germesi ℝ² olan tek elemanlı bir küme yoktur. Bunu şöyle kanıtlayabiliriz:

Germesi ℝ² Olan Tek Elemanlı Bir Küme Var mı?

Tek bir x vektörü içeren bir {x} kümesi olduğunu ve bu vektörün bütün doğrusal birleşimlerinin ℝ² uzayını oluşturduğunu varsayalım. O zaman öyle gerçek sayılar a₁, a₂ bulunmalıdır ki

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

olsun. Neden tam olarak bu vektörler? Hangi vektörleri seçtiğimiz pek fark etmez, önemli olan yalnızca doğrusal bağımsız olmalarıdır.

x = (x₁, x₂) diyelim. O zaman kesinlikle x₁, x₂ ≠ 0 olur; çünkü x₁ = 0 olsaydı x vektörünün herhangi bir doğrusal birleşimiyle istenen (1, 0) vektörünü elde etmemiz zor olurdu. x₂ için de aynısı geçerlidir. Önceki denklem sistemini açalım:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Bunu denklemler olarak yazalım:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

İkinci ve üçüncü denklemden a₁ = a₂ = 0 çıkar; çünkü x₁, x₂ ≠ 0 ise a₁ · x₂ ve a₂ · x₁ çarpımlarının sıfır olması için yalnızca a₁ = a₂ = 0 olasılığı kalır. Ama bu, birinci ve dördüncü denklemle çelişir; çünkü a₁ = 0 ise a₁ · x₁ = 0 olur, oysa birinci denklem a₁ · x₁ = 1 der.

Demek ki hiçbir tek elemanlı kümenin doğrusal germesi ℝ² uzayı olamaz.

Germesi ℝ² Olan En Küçük Bir Vektör Kümesi Var mı?

Bu özelliğe sahip tek elemanlı bir küme olmadığını ve W = {(1, 0), (0, 1)} kümesinin doğrusal germesinin ℝ² olduğunu biliyoruz. O hâlde soralım: Bu küme, germesi ℝ² olan tek iki elemanlı küme midir?

Elbette değildir; çünkü başka bir iki elemanlı W = {(2, 0), (0, 2)} kümesinin de germesi ℝ² olur. a ∈ ℝ, a ≠ 0 olmak üzere [a,0], [0,a] vektör çiftlerinin her birinin germesi ℝ² olur. Aslında doğrusal bağımsız herhangi iki vektörün germesi ℝ² olur. Yani germesiyle ℝ² uzayını üretebilen sonsuz sayıda iki elemanlı küme vardır.

Aynı zamanda ℝ² uzayının üç elemanlı her W₃ ⊆ ℝ² alt kümesi bağımlı vektörlerden oluşur. Neden? (a, b), (c, d), (e, f) üç vektörümüz varsa bunları bir matrise yazabiliriz:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Bu matrisin rankı en çok ikidir; dolayısıyla içinde doğrusal bağımlı bir sütun/vektör bulunması zorunludur.

Vektör Uzayının Tabanının Tanımı

Bir V vektör uzayı verilsin ve B ⊆ V olsun. Aşağıdakiler sağlanıyorsa B kümesine V vektör uzayının tabanı denir:

1. ⟨B⟩ = V
2. B doğrusal bağımsız bir vektör kümesidir.

Taban, germesi V uzayı olan bağımsız bir vektör kümesidir. Yani taban, germesi V uzayı olan minimal vektör kümesidir. Tabandan bir eleman çıkarırsak germe artık V uzayı olmaz. Bir vektör eklersek bu vektör diğer vektörlerin doğrusal birleşimi olur.

ℝⁿ uzayında çalışıyorsak [1, 0,…,0], [0, 1, 0,…,0], …, [0, 0,…,0, 1] biçimindeki n bileşenli vektörlerin kümesi ℝⁿ uzayının bir tabanını oluşturur ve bu tabana standart taban denir. Örneğin ℝ³ için (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) standart tabanını elde ederiz. Bu durumda [a,b,c] vektörünü şu birleşimle elde ederiz:

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

(0, 1, 0) vektörünü çıkarırsak bu yeni kümenin germesi ℝ³ olmazdı. (14, −2, 5) vektörünü eklersek bu vektör, a = 14, b = −2, c = 5 katsayılarıyla diğer vektörlerin doğrusal birleşimi olurdu.

Vektör Uzayının Tabanının Temel Özellikleri

• Her vektör uzayı V bir tabana sahiptir; yalnızca sıfır vektörünü içeren aşikâr {0} uzayının tabanı boş kümedir. Doğrusal bağımsız her B₀ ⊆ V kümesi ya V uzayının bir tabanıdır ya da bir tabana tamamlanabilir. B₀ taban değilse, yani ⟨B₀⟩ ≠ V ise x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩ olan bir vektör vardır. Bu vektör B₀ kümesindeki vektörlerin birleşimi değildir. Onu B₀ kümesine ekleyerek yeni bir B₁ = B₀ ∪ {x₀} kümesi elde ederiz. Yine B₁ ya tabandır ya da bir tabana tamamlanabilir. V uzayının sonlu bir tabanı varsa sonlu sayıda adımda V uzayının tabanı olan bir B_n bağımsız vektör kümesi elde ederiz.

• Bir uzayın tabanı tek türlü belirlenmez; her zaman birden fazla taban vardır.

• Bir vektör uzayının bütün tabanları aynı sayıda elemana/vektöre sahiptir ya da sonsuzdur. Örneğin ℝ² uzayının bütün tabanlarının iki vektörü vardır; üç elemanlı hiçbir küme ve tek elemanlı hiçbir küme ℝ² uzayının tabanı değildir.

• V uzayının bir B = {e₁, …, e_n} tabanı varsa V uzayındaki her x vektörünü tabandaki vektörlerin doğrusal birleşimi olarak yazabiliriz; yani öyle a₁, …, a_n gerçek katsayıları vardır ki

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Üstelik bu katsayılar tektir. Yani b₁, … b_n katsayıları için de

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  oluyorsa bu, a₁ = b₁, …, a_n = b_n olması gerektiği anlamına gelir.