A vektortér bázisa

A V vektortér bázisa lineárisan független vektorok olyan halmaza, amelynek lineáris burka a V tér.

Miért vezetjük be a vektortér bázisát

Legyen adott egy V vektortér és egy W ⊂ V részhalmaz, amelynek lineáris burka ⟨W⟩ egyenlő a V térrel, vagyis ⟨W⟩ = V. Példa: legyen W = {(1; 0), (0; 1), (2; 3)} és V = ℝ².

Nyilván igaz, hogy ⟨W⟩ = ℝ². A W halmaznak csak három vektora van, mégis a lineáris burok segítségével le tudjuk írni vele az ℝ² vektorainak az egész végtelen halmazát. Adódik a kérdés – elvehetünk-e a W halmazból még valamilyen vektort úgy, hogy megmaradjon a ⟨W⟩ = ℝ² tulajdonság?

Ha például kihagynánk az utolsó, (2; 3) vektort, megkapnánk a W₁ = {(1; 0), (0; 1)} halmazt. Ennek a halmaznak a lineáris burka ismét az ℝ². Adódik tehát a kérdés – melyik a legkisebb olyan vektorhalmaz, amelynek lineáris burka az ℝ² halmaz?

Ha a W₁-ből a megmaradt két vektor bármelyikét eltávolítanánk, ennek a halmaznak, jelöljük W₂-vel, már nem az ℝ² lenne a burka. Pl. a W₂ = {(1; 0)} halmaz lineáris burka a ⟨W₂⟩ = {(a; 0) | a ∈ ℝ} halmaz lenne. Ez biztosan nem egyenlő az ℝ² halmazzal, hiányzik belőle például a (0; 1) vektor.

A W₁ = {(1; 0), (0; 1)} halmaz tehát olyan minimális vektorhalmaz, amelynek lineáris burka az ℝ² tér. Ezután további kérdések érdekelhetnek minket:

1. Létezik-e valamilyen teljesen más egyelemű halmaz, amelynek lineáris burka az ℝ² tér lenne?
2. Létezik-e valamilyen egyedi legkisebb vektorhalmaz, amelynek lineáris burka az ℝ² tér lenne?

Ahogy mindannyian tudjuk a bulvárlapokból, ha egy újságcikk címe kérdés alakú, a válasz nem, és ebben az esetben sincs ez másképp. Nincs olyan egyelemű halmaz, amelynek lineáris burka az ℝ² lenne. A bizonyítást így végezhetjük el:

Van-e olyan egyelemű halmaz, amelynek burka az ℝ²?

Tegyük fel, hogy létezik egy olyan {x} halmaz, amely egyetlen x vektort tartalmaz, és amelynek az összes lineáris kombinációja az ℝ² teret adja. Ekkor léteznie kell olyan a₁, a₂ valós számoknak, hogy

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1;0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0;1)\end{array}$$

Miért éppen ezeket a vektorokat? Tulajdonképpen mindegy, milyen vektorokat választunk, csak lineárisan függetlenek legyenek.

Legyen x = (x₁; x₂). Ekkor biztosan x₁, x₂ ≠ 0, mert ha x₁ = 0 lenne, akkor az x vektor lineáris kombinációjával aligha kapnánk meg a kívánt (1; 0) vektort. Ugyanez igaz az x₂-re. Az előző egyenletrendszert csak kifejtjük:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1;x_2)& =& (1;0)\\ a_2\cdot (x_1;x_2)& =& (0;1)\end{array}$$

Ezt egyenletekre bontjuk:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

A második és a harmadik egyenletből következik, hogy a₁ = a₂ = 0, mert ha x₁, x₂ ≠ 0, akkor csak az a lehetőség marad, hogy a₁ = a₂ = 0, hogy az a₁ · x₂ és az a₂ · x₁ szorzatban nullát kapjunk. Ez viszont ellentmond az első és a negyedik egyenletnek, mert ha a₁ = 0, akkor a₁ · x₁ = 0, az első egyenlet viszont azt mondja, hogy a₁ · x₁ = 1.

Egyetlen egyelemű halmaz lineáris burka sem lehet tehát az ℝ² tér.

Létezik-e legkisebb vektorhalmaz, amelynek burka az ℝ²?

Tudjuk, hogy nincs ilyen tulajdonságú egyelemű halmaz, és tudjuk, hogy a W = {(1; 0), (0; 1)} halmaz lineáris burka az ℝ². Azt kérdezzük tehát, hogy ez-e az egyetlen kételemű halmaz, amelynek burka az ℝ².

Természetesen nem, mert egy másik kételemű halmaz, a W = {(2; 0), (0; 2)} burka is az ℝ². Az (a; 0), (0; a) vektorpárok bármelyikének, ahol a ∈ ℝ, a ≠ 0, az ℝ² a burka. Valójában lineárisan független vektorok bármely párjának az ℝ² a burka. Végtelen sok olyan kételemű halmaz van tehát, amely a burkával az ℝ² teret generálhatja.

Egyúttal igaz, hogy bármely háromelemű W₃ ⊆ ℝ² részhalmaz összefüggő vektorokból áll. Miért? Ha van három vektorunk, (a; b), (c; d), (e; f), felírhatjuk őket mátrixba:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Ennek a mátrixnak a rangja legfeljebb kettő, így szükségszerűen van benne lineárisan összefüggő oszlop/vektor.

A vektortér bázisának definíciója

Legyen adott egy V vektortér. Továbbá legyen B ⊆ V. Azt mondjuk, hogy a B a V vektortér bázisa, ha teljesül:

1. ⟨B⟩ = V
2. B lineárisan független vektorok halmaza.

A bázis lineárisan független vektorok halmaza, amelynek burka a V tér. A bázis tehát olyan minimális vektorhalmaz, amelynek burka a V tér. Igaz, hogy ha a bázisból egy elemet elvennénk, a burka már nem a V tér lenne. Ha egy vektort hozzáadnánk, ez a vektor a többi vektor lineáris kombinációja lenne.

Ha az ℝⁿ térben mozgunk, akkor az (1; 0; …; 0), (0; 1; 0; …; 0), …, (0; 0; …; 0; 1) n-esek halmaza bázist alkot az ℝⁿ térben, és ezt a bázist standard bázisnak nevezzük. Pl. az ℝ³ esetén a (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) standard bázist kapnánk. Ekkor az (a; b; c) vektort ezzel a kombinációval kapnánk meg:

$$a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0)+c\cdot (0;0;1)$$

Ha eltávolítanánk a (0; 1; 0) vektort, ennek az új halmaznak a burka nem az ℝ³ lenne. Ha hozzáadnánk a (14; −2; 5) vektort, ez a vektor a többi vektor lineáris kombinációja lenne az a = 14, b = −2, c = 5 együtthatókkal.

A vektortér bázisának alapvető tulajdonságai

• Minden V lineáris térnek van bázisa; a triviális {0} tér – az a tér, amely egyetlen vektort, a nullvektort tartalmazza – bázisa az üres halmaz. Minden B₀ ⊆ V lineárisan független halmaz vagy bázisa a V térnek, vagy kiegészíthető bázissá. Ha a B₀ nem bázis, azaz ⟨B₀⟩ ≠ V, akkor létezik egy x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩ vektor. Ez a vektor nem kombinációja a B₀ vektorainak. Hozzáadjuk a B₀ halmazhoz, így megkapjuk az új B₁ = B₀ ∪ {x₀} halmazt. Ismét mondhatjuk, hogy a B₁ vagy bázis, vagy kiegészíthető bázissá. Ha a V térnek van véges bázisa, akkor véges sok lépésben megkapjuk a lineárisan független vektorok olyan B_n halmazát, amely a V tér bázisa.

• A tér bázisa nem egyértelműen meghatározott, mindig több bázis létezik.

• A vektortér összes bázisának ugyanannyi eleme/vektora van, vagy végtelenek. Például az ℝ² tér összes bázisa két vektorból áll, sem a háromelemű, sem az egyelemű halmaz nem bázisa az ℝ² térnek.

• Ha adott a V tér egy B = {e₁, …, e_n} bázisa, akkor igaz, hogy a V tér minden x vektorát ki tudjuk fejezni a bázis vektorainak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan a₁, …, a_n valós együtthatók, hogy

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Ezek az együtthatók ráadásul egyértelműek. Azaz ha a b₁, … b_n együtthatókra igaz lenne, hogy

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  akkor ennek azt kell jelentenie, hogy a₁ = b₁, …, a_n = b_n.