Base d’un espace vectoriel

Une base d’un espace vectoriel V est une famille libre de vecteurs qui engendre l’espace V.

Pourquoi introduire la notion de base

Prenons un espace vectoriel V et un sous-ensemble W ⊂ V tel que le sous-espace engendré Vect(W) par cet ensemble soit égal à l’espace V, c’est-à-dire Vect(W) = V. Exemple : soit W = {(1 ; 0) ; (0 ; 1) ; (2 ; 3)} et V = ℝ².

On a clairement Vect(W) = ℝ². L’ensemble W n’a que trois vecteurs, et pourtant il nous permet, grâce au sous-espace engendré, de décrire tout l’ensemble infini de vecteurs ℝ². On peut se demander : peut-on retirer encore des vecteurs de l’ensemble W tout en conservant la propriété Vect(W) = ℝ² ?

Si l’on retire par exemple le dernier vecteur (2 ; 3), on obtient l’ensemble W₁ = {(1 ; 0) ; (0 ; 1)}. Le sous-espace engendré par cet ensemble est de nouveau ℝ². On se demande donc : quel est le plus petit ensemble de vecteurs qui engendre l’ensemble ℝ² ?

Si l’on retire de W₁ l’un quelconque des deux vecteurs restants, cet ensemble, que l’on note W₂, n’engendre plus ℝ². Par exemple, le sous-espace engendré par l’ensemble W₂ = {(1 ; 0)} serait l’ensemble $\mathrm{Vect}(W_2)=\left\{(a;0)\right|a\in \mathbb{R}\}$. Il n’est évidemment pas égal à ℝ² : il y manque par exemple le vecteur (0 ; 1).

L’ensemble W₁ = {(1 ; 0) ; (0 ; 1)} est donc un ensemble minimal de vecteurs qui engendre l’espace ℝ². D’autres questions peuvent nous intéresser :

1. Existe-t-il un tout autre ensemble à un seul élément qui engendre l’espace ℝ² ?
2. Existe-t-il un unique plus petit ensemble de vecteurs qui engendre l’espace ℝ² ?

Comme chacun le sait en lisant la presse à sensation, quand le titre d’un article est formulé comme une question, la réponse est non, et c’est la même chose ici. Il n’existe pas d’ensemble à un seul élément qui engendre ℝ². On peut le démontrer ainsi :

Existe-t-il un ensemble à un seul élément qui engendre ℝ² ?

Supposons qu’il existe un ensemble {x} contenant un seul vecteur x, dont toutes les combinaisons linéaires forment l’espace ℝ². Alors il doit exister des nombres réels a₁, a₂ tels que

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1;0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0;1)\end{array}$$

Pourquoi justement ces vecteurs ? Peu importent les vecteurs choisis, l’essentiel est qu’ils soient linéairement indépendants.

Notons x = (x₁ ; x₂). Alors, bien sûr, x₁, x₂ ≠ 0, car si l’on avait x₁ = 0, on aurait du mal à obtenir le vecteur voulu (1 ; 0) par une combinaison linéaire du vecteur x. Même chose pour x₂. On développe simplement le système d’équations précédent :

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1;x_2)& =& (1;0)\\ a_2\cdot (x_1;x_2)& =& (0;1)\end{array}$$

On l’écrit en équations :

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

De la deuxième et de la troisième équation, on déduit que a₁ = a₂ = 0, car si x₁, x₂ ≠ 0, la seule possibilité pour obtenir zéro dans les produits a₁ · x₂ et a₂ · x₁ est que a₁ = a₂ = 0. Mais cela contredit la première et la quatrième équation, car si a₁ = 0, alors a₁ · x₁ = 0, alors que la première équation dit que a₁ · x₁ = 1.

Aucun ensemble à un seul élément ne peut donc engendrer l’espace ℝ².

Existe-t-il un plus petit ensemble de vecteurs qui engendre ℝ² ?

On sait qu’il n’existe pas d’ensemble à un seul élément ayant cette propriété, et que l’ensemble W = {(1 ; 0) ; (0 ; 1)} engendre ℝ². On se demande donc si cet ensemble est le seul ensemble à deux éléments qui engendre ℝ².

Bien sûr que non, car un autre ensemble à deux éléments W = {(2 ; 0) ; (0 ; 2)} engendre aussi ℝ². Toute paire de vecteurs (a ; 0), (0 ; a), avec a ∈ ℝ, a ≠ 0, engendre ℝ². En fait, toute paire de vecteurs linéairement indépendants engendre ℝ². Il existe donc une infinité d’ensembles à deux éléments qui engendrent ℝ².

En même temps, tout sous-ensemble à trois éléments W₃ ⊂ ℝ² est formé de vecteurs liés. Pourquoi ? Si l’on a trois vecteurs (a ; b), (c ; d), (e ; f), on peut les écrire dans une matrice :

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Cette matrice a un rang au plus égal à deux, il y a donc nécessairement une colonne (un vecteur) qui dépend linéairement des autres.

Définition d’une base d’un espace vectoriel

Prenons un espace vectoriel V et B ⊂ V. On dit que B est une base de l’espace vectoriel V si :

1. Vect(B) = V
2. B est une famille libre de vecteurs.

Une base est une famille libre de vecteurs qui engendre l’espace V. Une base représente donc une famille minimale de vecteurs qui engendre l’espace V. Si l’on retire un élément de la base, elle n’engendre plus l’espace V. Si l’on ajoute un vecteur, ce vecteur est une combinaison linéaire des autres vecteurs.

Dans l’espace ℝⁿ, la famille des n-uplets (1 ; 0 ; … ; 0), (0 ; 1 ; 0 ; … ; 0), …, (0 ; 0 ; … ; 0 ; 1) est une base de l’espace ℝⁿ, appelée base canonique. Par exemple, pour ℝ³, on obtient la base canonique (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0), (0 ; 0 ; 1). Le vecteur (a ; b ; c) s’obtient alors comme la combinaison

$$a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0)+c\cdot (0;0;1)$$

Si l’on retirait le vecteur (0 ; 1 ; 0), le nouvel ensemble n’engendrerait pas ℝ³. Si l’on ajoutait le vecteur (14 ; −2 ; 5), ce vecteur serait une combinaison linéaire des autres vecteurs avec les coefficients a = 14 ; b = −2 ; c = 5.

Propriétés élémentaires d’une base d’un espace vectoriel

• Tout espace vectoriel V possède une base ; pour l’espace trivial {0} — l’espace qui ne contient qu’un seul vecteur, le vecteur nul —, c’est l’ensemble vide. Toute famille libre B₀ ⊂ V est une base de l’espace V ou peut être complétée en une base. Si B₀ n’est pas une base, c’est-à-dire Vect(B₀) ≠ V, alors il existe un vecteur x₀ ∈ V ∖ Vect(B₀). Ce vecteur n’est pas une combinaison de vecteurs de B₀. On l’ajoute à l’ensemble B₀ et l’on obtient un nouvel ensemble B₁ = B₀ ∪ {x₀}. On peut de nouveau dire que B₁ est une base ou peut être complété en une base. Si l’espace V possède une base finie, alors, en un nombre fini d’étapes, on obtient une famille libre B_n qui est une base de l’espace V.

• Une base de l’espace n’est pas déterminée de façon unique : il existe toujours plusieurs bases.

• Toutes les bases d’un espace vectoriel ont le même nombre d’éléments (de vecteurs), ou sont infinies. Par exemple, toutes les bases de l’espace ℝ² ont deux vecteurs, et aucun ensemble de trois éléments ni aucun ensemble d’un seul élément n’est une base de l’espace ℝ².

• Si l’on a une base B = {e₁ ; … ; e_n} de l’espace V, alors tout vecteur x de l’espace V peut s’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la base, c’est-à-dire qu’il existe des coefficients réels a₁, …, a_n tels que

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  De plus, ces coefficients sont uniques. Autrement dit, si l’on avait pour des coefficients b₁, …, b_n

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  cela signifierait que a₁ = b₁, …, a_n = b_n.