Basis van een vectorruimte

Een basis van een vectorruimte V is een verzameling lineair onafhankelijke vectoren waarvan het lineaire opspansel de ruimte V is.

Motivatie voor het invoeren van een basis van een vectorruimte

We nemen een vectorruimte V en een deelverzameling W ⊂ V zodat het lineaire opspansel ⟨W⟩ van deze verzameling gelijk is aan de ruimte V, dus ⟨W⟩ = V. Voorbeeld: stel W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} en V = ℝ².

Er geldt duidelijk dat ⟨W⟩ = ℝ². De verzameling W heeft maar drie vectoren, en toch kunnen we er dankzij het lineaire opspansel de hele oneindige verzameling vectoren ℝ² mee beschrijven. De vraag dient zich aan — kunnen we nog vectoren uit de verzameling W weghalen en toch de eigenschap ⟨W⟩ = ℝ² behouden?

Als we bijvoorbeeld de laatste vector (2, 3) weggooien, krijgen we de verzameling W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Het lineaire opspansel van deze verzameling is weer ℝ². Er dient zich dus de vraag aan — welke kleinste verzameling vectoren heeft als lineair opspansel de verzameling ℝ²?

Als we uit W₁ een van de twee overgebleven vectoren weghalen, zou deze verzameling, noem haar W₂, niet meer de verzameling ℝ² als opspansel hebben. Het lineaire opspansel van de verzameling W₂ = {(1, 0)} zou bijvoorbeeld de verzameling ⟨W₂⟩ = {(a, 0) | a ∈ ℝ} zijn. Dat is zeker niet gelijk aan de verzameling ℝ², er ontbreekt bijvoorbeeld de vector (0, 1).

De verzameling W₁ = {(1, 0), (0, 1)} is dus een minimale verzameling vectoren waarvan het lineaire opspansel de ruimte ℝ² is. Verder kunnen we ons nog andere dingen afvragen:

1. Bestaat er een heel andere verzameling met één element waarvan het lineaire opspansel de ruimte ℝ² zou zijn?
2. Bestaat er een unieke kleinste verzameling vectoren waarvan het lineaire opspansel de ruimte ℝ² zou zijn?

Zoals we allemaal weten uit de roddelpers: als de kop van een krant de vorm van een vraag heeft, is het antwoord nee, en in dit geval is dat net zo. Er bestaat geen verzameling met één element die als lineair opspansel ℝ² heeft. Het bewijs kunnen we zo voeren:

Bestaat er een verzameling met één element waarvan het opspansel ℝ² is?

We nemen aan dat er een verzameling {x} bestaat met één vector x waarvan alle lineaire combinaties de ruimte ℝ² vormen. Dan moeten er reële getallen a₁, a₂ bestaan zodat

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Waarom juist deze vectoren? Het maakt eigenlijk niet uit welke vectoren we kiezen, het gaat er alleen om dat ze lineair onafhankelijk zijn.

We noemen x = (x₁, x₂). Dan is zeker x₁, x₂ ≠ 0, want als x₁ = 0, zouden we met een lineaire combinatie van de vector x moeilijk de gewenste vector (1, 0) kunnen krijgen. Hetzelfde voor x₂. Het voorgaande stelsel vergelijkingen schrijven we gewoon uit:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Dat schrijven we uit in vergelijkingen:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Uit de tweede en de derde vergelijking volgt dat a₁ = a₂ = 0, want als x₁, x₂ ≠ 0, blijft alleen de mogelijkheid over dat a₁ = a₂ = 0, zodat we in de producten a₁ · x₂ en a₂ · x₁ nul krijgen. Dat is echter in tegenspraak met de eerste en de vierde vergelijking, want als a₁ = 0, dan a₁ · x₁ = 0, maar de eerste vergelijking zegt dat a₁ · x₁ = 1.

Geen enkele verzameling met één element kan dus als lineair opspansel de ruimte ℝ² hebben.

Bestaat er een kleinste verzameling vectoren waarvan het opspansel ℝ² is?

We weten dat er geen verzameling met één element met deze eigenschap bestaat en we weten dat de verzameling W = {(1, 0), (0, 1)} als lineair opspansel ℝ² heeft. We vragen ons dus af of deze verzameling de enige verzameling met twee elementen is die ℝ² als opspansel heeft?

Natuurlijk niet, want ook een andere verzameling met twee elementen W = {(2, 0), (0, 2)} heeft opspansel ℝ². Elk paar vectoren (a, 0), (0, a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 heeft als opspansel ℝ². In werkelijkheid heeft elk paar lineair onafhankelijke vectoren als opspansel ℝ². Er bestaan dus oneindig veel verzamelingen met twee elementen die met hun opspansel ℝ² kunnen voortbrengen.

Tegelijk geldt dat elke deelverzameling W₃ ⊆ ℝ² met drie elementen uit afhankelijke vectoren bestaat. Waarom? Als we drie vectoren (a, b), (c, d), (e, f) hebben, kunnen we ze in een matrix schrijven:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Deze matrix heeft rang hoogstens twee, dus er moet noodzakelijkerwijs een lineair afhankelijke kolom/vector in zitten.

Definitie van een basis van een vectorruimte

We nemen een vectorruimte V. Verder zij B ⊆ V. We zeggen dat B een basis van de vectorruimte V is als geldt:

1. ⟨B⟩ = V
2. B is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren.

Een basis is een onafhankelijke verzameling vectoren waarvan het opspansel de ruimte V is. Een basis stelt dus een minimale verzameling vectoren voor waarvan het opspansel de ruimte V is. Er geldt dat als we uit de basis één element weghalen, het opspansel niet meer de ruimte V zou zijn. Als we één vector zouden toevoegen, zou die vector een lineaire combinatie van de andere vectoren zijn.

Als we in de ruimte ℝⁿ werken, dan geldt dat de verzameling n-tallen (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1) een basis van de ruimte ℝⁿ vormt en deze basis heet de standaardbasis. Voor ℝ³ zouden we bijvoorbeeld de standaardbasis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) krijgen. Daarbij zou dan gelden dat we de vector (a, b, c) zouden krijgen als combinatie

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Als we de vector (0, 1, 0) zouden weghalen, zou het opspansel van deze nieuwe verzameling niet ℝ³ zijn. Als we de vector (14, −2, 5) zouden toevoegen, zou deze vector een lineaire combinatie van de andere vectoren zijn met coëfficiënten a = 14, b = −2, c = 5.

Belangrijkste eigenschappen van een basis van een vectorruimte

• Elke lineaire ruimte V heeft een basis, bij de triviale ruimte {0} — de ruimte die één enkele vector bevat, de nulvector — is dat de lege verzameling. Elke lineair onafhankelijke verzameling B₀ ⊆ V is ofwel een basis van de ruimte V, ofwel kan tot een basis worden aangevuld. Als B₀ geen basis is, dus ⟨B₀⟩ ≠ V, dan bestaat er een vector x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Deze vector is geen combinatie van vectoren uit B₀. We voegen hem toe aan de verzameling B₀ en krijgen een nieuwe verzameling B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Weer kunnen we zeggen dat B₁ ofwel een basis is, ofwel tot een basis kan worden aangevuld. Als de ruimte V een eindige basis heeft, krijgen we in een eindig aantal stappen een verzameling onafhankelijke vectoren B_n die een basis van de ruimte V is.

• Een basis van een ruimte is niet eenduidig bepaald, er bestaan altijd meer bases.

• Alle bases van een vectorruimte hebben hetzelfde aantal elementen/vectoren of zijn oneindig. Alle bases van de ruimte ℝ² hebben bijvoorbeeld twee vectoren, geen enkele verzameling met drie elementen en ook geen verzameling met één element is een basis van de ruimte ℝ².

• Als we een basis B = {e₁, …, e_n} van de ruimte V hebben, dan geldt dat we elke vector x uit de ruimte V kunnen uitdrukken als lineaire combinatie van vectoren uit de basis, dus er bestaan reële coëfficiënten a₁, …, a_n zodat

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Daarbij geldt dat deze coëfficiënten eenduidig zijn. Dat wil zeggen: als voor coëfficiënten b₁, … b_n zou gelden dat

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  dan moet dat betekenen dat a₁ = b₁, …, a_n = b_n.