Basis for et vektorrum

En basis for et vektorrum V er en mængde af lineært uafhængige vektorer, hvis lineære udspænd er rummet V.

Motivation for at indføre en basis for et vektorrum

Vi har et vektorrum V og en delmængde W ⊂ V, således at det lineære udspænd ⟨W⟩ af denne mængde er lig med rummet V, altså ⟨W⟩ = V. Eksempel: lad W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} og V = ℝ².

Det gælder åbenbart, at ⟨W⟩ = ℝ². Mængden W har kun tre vektorer, og alligevel kan vi ved hjælp af det lineære udspænd beskrive hele den uendelige mængde af vektorer ℝ². Det er oplagt at spørge: kan vi fjerne endnu nogle vektorer fra mængden W og samtidig bevare egenskaben ⟨W⟩ = ℝ²?

Hvis vi for eksempel fjerner den sidste vektor (2, 3), får vi mængden W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Det lineære udspænd af denne mængde er igen ℝ². Så spørger vi: hvilken mindste mængde af vektorer har mængden ℝ² som sit lineære udspænd?

Hvis vi fjernede en vilkårlig af de to tilbageværende vektorer fra W₁, ville denne mængde, som vi kalder W₂, ikke længere have ℝ² som sit udspænd. F.eks. ville det lineære udspænd af mængden W₂ = {(1, 0)} være mængden ⟨W₂⟩ = {[a,0] | a ∈ ℝ}. Den er bestemt ikke lig med mængden ℝ², der mangler for eksempel vektoren (0, 1).

Mængden W₁ = {(1, 0), (0, 1)} er således en minimal mængde af vektorer, hvis lineære udspænd er rummet ℝ². Vi kan desuden interessere os for disse spørgsmål:

1. Findes der en helt anden mængde med ét element, hvis lineære udspænd er rummet ℝ²?
2. Findes der en entydig mindste mængde af vektorer, hvis lineære udspænd er rummet ℝ²?

Som vi alle ved fra sensationspressen, er svaret nej, når en avisoverskrift er formuleret som et spørgsmål, og sådan er det også her. Der findes ingen mængde med ét element, som har det lineære udspænd ℝ². Beviset kan vi føre sådan:

Findes der en mængde med ét element, hvis udspænd er ℝ²?

Antag, at der findes en mængde {x} med én vektor x, hvis linearkombinationer udgør hele rummet ℝ². Så må der findes reelle tal a₁, a₂, således at

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Hvorfor netop disse vektorer? Det er egentlig ligegyldigt, hvilke vektorer vi vælger, det vigtige er bare, at de er lineært uafhængige.

Lad x = (x₁, x₂). Så er helt sikkert x₁, x₂ ≠ 0, for hvis x₁ = 0, ville vi næppe kunne få den ønskede vektor (1, 0) som en linearkombination af vektoren x. Det samme gælder for x₂. Det forrige ligningssystem skriver vi blot ud:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Det skriver vi om til ligninger:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Af den anden og tredje ligning følger, at a₁ = a₂ = 0, for hvis x₁, x₂ ≠ 0, er den eneste mulighed, at a₁ = a₂ = 0, så produkterne a₁ · x₂ og a₂ · x₁ bliver nul. Det er dog i modstrid med den første og fjerde ligning, for hvis a₁ = 0, er a₁ · x₁ = 0, men den første ligning siger, at a₁ · x₁ = 1.

Ingen mængde med ét element kan altså have rummet ℝ² som sit lineære udspænd.

Findes der en mindste mængde af vektorer, hvis udspænd er ℝ²?

Vi ved, at der ikke findes en mængde med ét element med denne egenskab, og vi ved, at mængden W = {(1, 0), (0, 1)} har ℝ² som sit lineære udspænd. Vi spørger derfor, om denne mængde er den eneste mængde med to elementer, som har ℝ² som udspænd.

Det er den naturligvis ikke, for også en anden mængde med to elementer, W = {(2, 0), (0, 2)}, har udspændet ℝ². Ethvert par af vektorer [a,0], [0,a], a ∈ ℝ, a ≠ 0 har ℝ² som udspænd. Faktisk har ethvert par af lineært uafhængige vektorer ℝ² som udspænd. Der findes altså uendeligt mange mængder med to elementer, som kan udspænde ℝ².

Samtidig gælder det, at enhver delmængde W₃ ⊆ ℝ² med tre elementer består af afhængige vektorer. Hvorfor? Hvis vi har tre vektorer (a, b), (c, d), (e, f), kan vi skrive dem ind i en matrix:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Denne matrix har rang højst to, så der må nødvendigvis findes en lineært afhængig søjle/vektor.

Definition af en basis for et vektorrum

Lad V være et vektorrum, og lad B ⊆ V. Vi siger, at B er en basis for vektorrummet V, hvis

1. ⟨B⟩ = V
2. B er en lineært uafhængig mængde af vektorer.

En basis er en uafhængig mængde af vektorer, hvis udspænd er rummet V. En basis er således en minimal mængde af vektorer, hvis udspænd er rummet V. Hvis vi fjernede ét element fra basen, ville udspændet ikke længere være rummet V. Hvis vi tilføjede én vektor, ville denne vektor være en linearkombination af de andre vektorer.

Hvis vi bevæger os i rummet ℝⁿ, gælder det, at mængden af n-tupler [1, 0,…,0], [0, 1, 0,…,0], …, [0, 0,…,0, 1] udgør en basis for rummet ℝⁿ, og denne basis kaldes standardbasen. For ℝ³ får vi f.eks. standardbasen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Vektoren [a,b,c] får vi så som kombinationen

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Hvis vi fjernede vektoren (0, 1, 0), ville udspændet af den nye mængde ikke være ℝ³. Hvis vi tilføjede vektoren (14, −2, 5), ville denne vektor være en linearkombination af de andre vektorer med koefficienterne a = 14, b = −2, c = 5.

Grundlæggende egenskaber ved en basis for et vektorrum

• Ethvert lineært rum V har en basis. For det trivielle rum {0} — rummet, der kun indeholder nulvektoren — er basen den tomme mængde. Enhver lineært uafhængig mængde B₀ ⊆ V er enten en basis for rummet V, eller også kan den udvides til en basis. Hvis B₀ ikke er en basis, dvs. ⟨B₀⟩ ≠ V, findes der en vektor x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Denne vektor er ikke en kombination af vektorerne fra B₀. Tilføjer vi den til mængden B₀, får vi en ny mængde B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Igen kan vi sige, at B₁ enten er en basis, eller også kan den udvides til en basis. Hvis rummet V har en endelig basis, får vi i et endeligt antal skridt en mængde af uafhængige vektorer B_n, som er en basis for rummet V.

• Basen for et rum er ikke entydigt bestemt, der findes altid flere baser.

• Alle baser for et vektorrum har samme antal elementer/vektorer, eller de er uendelige. For eksempel har alle baser for rummet ℝ² to vektorer, og ingen mængde med tre elementer og ingen mængde med ét element er en basis for rummet ℝ².

• Hvis vi har en basis B = {e₁, …, e_n} for rummet V, kan vi udtrykke enhver vektor x i rummet V som en linearkombination af vektorerne fra basen, dvs. der findes reelle koefficienter a₁, …, a_n, således at

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Disse koefficienter er entydige. Dvs. hvis det for koefficienterne b₁, … b_n gjaldt, at

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  så må det betyde, at a₁ = b₁, …, a_n = b_n.