Bas för ett vektorrum

En bas för ett vektorrum V är en mängd linjärt oberoende vektorer vars linjära hölje är rummet V.

Varför inför man en bas för ett vektorrum

Låt V vara ett vektorrum och W ⊂ V en delmängd vars linjära hölje span(W) är lika med rummet V, alltså span(W) = V. Exempel: låt W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} och V = ℝ².

Uppenbarligen gäller span(W) = ℝ². Mängden W har bara tre vektorer, men tack vare det linjära höljet kan vi med den beskriva hela den oändliga mängden vektorer ℝ². Då är det naturligt att fråga sig — kan vi ta bort fler vektorer ur W och ändå behålla egenskapen span(W) = ℝ²?

Om vi till exempel tog bort den sista vektorn (2, 3) skulle vi få mängden W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Det linjära höljet av den här mängden är återigen ℝ². Då väcks frågan — vilken är den minsta mängd vektorer som har mängden ℝ² som linjärt hölje?

Om vi tog bort någon av de två återstående vektorerna ur W₁ skulle mängden, som vi kallar W₂, inte längre ha ℝ² som hölje. Det linjära höljet av mängden W₂ = {(1, 0)} vore till exempel mängden span(W₂) = {(a, 0)  ∣  a ∈ ℝ}. Den är förstås inte lika med ℝ², där saknas till exempel vektorn (0, 1).

Mängden W₁ = {(1, 0), (0, 1)} är alltså en minimal mängd vektorer vars linjära hölje är rummet ℝ². Vi kan också undra över följande:

1. Finns det någon helt annan mängd med ett enda element vars linjära hölje är rummet ℝ²?
2. Finns det någon unik minsta mängd vektorer vars linjära hölje är rummet ℝ²?

Som vi alla vet från kvällstidningarna är svaret nej när en rubrik är formulerad som en fråga, och så är det även här. Det finns ingen mängd med ett enda element som har det linjära höljet ℝ². Beviset kan göras så här:

Finns det en mängd med ett enda element vars hölje är ℝ²?

Anta att det finns en mängd {x} med en enda vektor x vars alla linjärkombinationer bildar rummet ℝ². Då måste det finnas reella tal a₁, a₂ sådana att

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Varför just de här vektorerna? Det spelar ingen större roll vilka vektorer vi väljer, huvudsaken är att de är linjärt oberoende.

Låt x = (x₁, x₂). Då är säkert x₁, x₂ ≠ 0, eftersom vi knappast skulle kunna få den önskade vektorn (1, 0) som linjärkombination av vektorn x om x₁ = 0. Detsamma gäller x₂. Vi skriver ut det föregående ekvationssystemet:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Det ger ekvationerna:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Av den andra och tredje ekvationen följer att a₁ = a₂ = 0, eftersom det för x₁, x₂ ≠ 0 bara återstår möjligheten att a₁ = a₂ = 0 för att produkterna a₁ · x₂ och a₂ · x₁ ska bli noll. Det är dock en motsägelse mot den första och fjärde ekvationen, för om a₁ = 0 är a₁ · x₁ = 0, men den första ekvationen säger att a₁ · x₁ = 1.

Ingen mängd med ett enda element kan alltså ha rummet ℝ² som linjärt hölje.

Finns det en minsta mängd vektorer vars hölje är ℝ²?

Vi vet att det inte finns någon mängd med ett enda element med den här egenskapen, och vi vet att mängden W = {(1, 0), (0, 1)} har ℝ² som linjärt hölje. Vi frågar oss därför om den här mängden är den enda mängden med två element som har ℝ² som hölje.

Det är den förstås inte, eftersom även en annan mängd med två element, W = {(2, 0), (0, 2)}, har höljet ℝ². Varje par vektorer (a, 0), (0, a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 har ℝ² som hölje. I själva verket har varje par linjärt oberoende vektorer ℝ² som hölje. Det finns alltså oändligt många mängder med två element som kan generera ℝ² som sitt hölje.

Samtidigt gäller att varje delmängd W₃ ⊆ ℝ² med tre element består av linjärt beroende vektorer. Varför? Om vi har tre vektorer (a, b), (c, d), (e, f) kan vi skriva dem i en matris:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Matrisens rang är högst två, så det måste nödvändigtvis finnas en linjärt beroende kolumn/vektor.

Definition av en bas för ett vektorrum

Låt V vara ett vektorrum och B ⊆ V. Vi säger att B är en bas för vektorrummet V om

1. span(B) = V
2. B är en linjärt oberoende mängd vektorer.

En bas är en oberoende mängd vektorer vars hölje är rummet V. En bas är alltså en minimal mängd vektorer vars hölje är rummet V. Om vi tog bort ett element ur basen skulle höljet inte längre vara rummet V. Om vi lade till en vektor skulle den vektorn vara en linjärkombination av de övriga vektorerna.

I rummet ℝⁿ gäller att mängden av n-tipplar (1, 0,…,0), (0, 1, 0,…,0), …, (0, 0,…,0, 1) är en bas för ℝⁿ, och den kallas standardbasen. För ℝ³ får vi till exempel standardbasen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Då får vi vektorn (a, b, c) som kombinationen

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Om vi tog bort vektorn (0, 1, 0) skulle höljet av den nya mängden inte vara ℝ³. Om vi lade till vektorn (14, −2, 5) skulle den vara en linjärkombination av de övriga vektorerna med koefficienterna a = 14, b = −2, c = 5.

Grundläggande egenskaper hos en bas

• Varje vektorrum V har en bas. För det triviala rummet {0} — rummet som innehåller bara en enda vektor, nollvektorn — är basen den tomma mängden. Varje linjärt oberoende mängd B₀ ⊆ V är antingen en bas för rummet V eller går att utvidga till en bas. Om B₀ inte är en bas, dvs. span(B₀) ≠ V, finns det en vektor x₀ ∈ V ∖ span(B₀). Den vektorn är ingen kombination av vektorer ur B₀. Vi lägger till den i mängden B₀ och får en ny mängd B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Återigen kan vi säga att B₁ antingen är en bas eller går att utvidga till en bas. Om rummet V har en ändlig bas får vi i ett ändligt antal steg en mängd oberoende vektorer B_n som är en bas för rummet V.

• Basen för ett rum är inte entydigt bestämd, det finns alltid flera baser.

• Alla baser för ett vektorrum har lika många element/vektorer eller är oändliga. Till exempel har alla baser för rummet ℝ² två vektorer, ingen mängd med tre element och ingen mängd med ett element är en bas för ℝ².

• Om vi har en bas B = {e₁, …, e_n} för rummet V gäller att varje vektor x i rummet V kan uttryckas som en linjärkombination av vektorerna i basen, dvs. det finns reella koefficienter a₁, …, a_n sådana att

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Dessutom är koefficienterna entydiga. Om det alltså för koefficienter b₁, … b_n gällde att

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  måste det betyda att a₁ = b₁, …, a_n = b_n.