Basis for et vektorrom

En basis for et vektorrom V er en mengde av lineært uavhengige vektorer som utspenner rommet V.

Motivasjon for å innføre basis for et vektorrom

La oss si at vi har et vektorrom V og en delmengde W ⊂ V slik at det lineære spennet ⟨W⟩ til denne mengden er lik rommet V, altså ⟨W⟩ = V. Eksempel: la W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} og V = ℝ².

Det gjelder åpenbart at ⟨W⟩ = ℝ². Mengden W har bare tre vektorer, og likevel klarer vi, takket være det lineære spennet, å beskrive hele den uendelige mengden av vektorer ℝ² med den. Spørsmålet melder seg — kan vi fjerne enda noen vektorer fra mengden W og samtidig beholde egenskapen ⟨W⟩ = ℝ²?

Hvis vi for eksempel kastet ut den siste vektoren (2, 3), ville vi fått mengden W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Det lineære spennet til denne mengden er igjen ℝ². Da melder spørsmålet seg — hva er den minste mengden av vektorer som har mengden ℝ² som lineært spenn?

Hvis vi fjernet en hvilken som helst av de to gjenværende vektorene fra W₁, ville denne mengden, la oss kalle den W₂, ikke lenger ha mengden ℝ² som spenn. For eksempel ville det lineære spennet til mengden W₂ = {(1, 0)} være mengden ⟨W₂⟩ = {(a, 0) | a ∈ ℝ}. Det er sikkert ikke lik mengden ℝ², der mangler for eksempel vektoren (0, 1).

Mengden W₁ = {(1, 0), (0, 1)} er altså en minimal mengde av vektorer som utspenner rommet ℝ². Videre kan vi være interessert i flere spørsmål:

1. Finnes det en helt annen mengde med ett element som utspenner rommet ℝ²?
2. Finnes det en unik minste mengde av vektorer som utspenner rommet ℝ²?

Som vi alle vet fra sladrepressen, er svaret nei når overskriften i avisen er et spørsmål, og i dette tilfellet er det det samme. Det finnes ingen mengde med ett element som har ℝ² som lineært spenn. Beviset kan vi gjøre slik:

Finnes det en mengde med ett element som utspenner ℝ²?

Anta at det finnes en mengde {x} som inneholder én vektor x, og at alle lineærkombinasjonene av den danner rommet ℝ². Da må det finnes reelle tall a₁, a₂ slik at

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Hvorfor akkurat disse vektorene? Det er egentlig likegyldig hvilke vektorer vi velger, poenget er bare at de er lineært uavhengige.

La oss kalle x = (x₁, x₂). Da er sikkert x₁, x₂ ≠ 0, for hvis x₁ = 0, ville vi vanskelig fått den ønskede vektoren (1, 0) ved noen lineærkombinasjon av vektoren x. Det samme for x₂. Det foregående likningssettet skriver vi bare ut:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Det skriver vi ut til likninger:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Av den andre og den tredje likningen følger det at a₁ = a₂ = 0, for hvis x₁, x₂ ≠ 0, er den eneste muligheten at a₁ = a₂ = 0, for at vi skal få null i produktene a₁ · x₂ og a₂ · x₁. Men det er i strid med den første og den fjerde likningen, for hvis a₁ = 0, er a₁ · x₁ = 0, men den første likningen sier at a₁ · x₁ = 1.

Ingen mengde med ett element kan altså ha rommet ℝ² som lineært spenn.

Finnes det en minste mengde av vektorer som utspenner ℝ²?

Vi vet at det ikke finnes noen mengde med ett element med denne egenskapen, og vi vet at mengden W = {(1, 0), (0, 1)} har ℝ² som lineært spenn. Vi spør altså om denne mengden er den eneste mengden med to elementer som har ℝ² som spenn?

Selvfølgelig er den ikke det, for også en annen mengde med to elementer, W = {(2, 0), (0, 2)}, har ℝ² som spenn. Hvert par av vektorer (a, 0), (0, a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 har ℝ² som spenn. Faktisk har hvert par av lineært uavhengige vektorer ℝ² som spenn. Det finnes altså uendelig mange mengder med to elementer som med spennet sitt kan frembringe ℝ².

Samtidig gjelder det at hver delmengde W₃ ⊆ ℝ² med tre elementer vil bestå av avhengige vektorer. Hvorfor? Hvis vi har tre vektorer (a, b), (c, d), (e, f), kan vi skrive dem inn i en matrise:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Denne matrisen har rang høyst to, så det må nødvendigvis finnes en lineært avhengig kolonne/vektor der.

Definisjon av basis for et vektorrom

La oss si at vi har et vektorrom V. Videre la B ⊆ V. Vi sier at B er en basis for vektorrommet V hvis det gjelder:

1. ⟨B⟩ = V
2. B er en lineært uavhengig mengde av vektorer.

En basis er en uavhengig mengde av vektorer som utspenner rommet V. En basis representerer altså en minimal mengde av vektorer som utspenner rommet V. Det gjelder at hvis vi fjernet ett element fra basisen, ville spennet ikke lenger være rommet V. Hvis vi la til én vektor, ville denne vektoren være en lineærkombinasjon av de andre vektorene.

Hvis vi beveger oss i rommet ℝⁿ, gjelder at mengden av n-tuplene (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1) danner en basis for rommet ℝⁿ, og denne basisen kalles standardbasisen. For eksempel ville vi for ℝ³ fått standardbasisen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Da ville det gjelde at vektoren (a, b, c) får vi som kombinasjonen

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Hvis vi fjernet vektoren (0, 1, 0), ville ikke spennet til denne nye mengden være ℝ³. Hvis vi la til vektoren (14, −2, 5), ville denne vektoren være en lineærkombinasjon av de andre vektorene med koeffisientene a = 14, b = −2, c = 5.

Grunnleggende egenskaper ved basis for et vektorrom

• Hvert lineært rom V har en basis, og for det trivielle rommet {0} — rommet som inneholder én eneste vektor, nullvektoren — er det den tomme mengden. Hver lineært uavhengig mengde B₀ ⊆ V er enten en basis for rommet V, eller kan utvides til en basis. Hvis B₀ ikke er en basis, altså ⟨B₀⟩ ≠ V, så finnes det en vektor x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Denne vektoren er ikke en kombinasjon av vektorer fra B₀. Vi legger den til i mengden B₀ og får en ny mengde B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Igjen kan vi si at B₁ enten er en basis eller kan utvides til en basis. Hvis rommet V har en endelig basis, får vi i et endelig antall trinn en mengde av uavhengige vektorer B_n som er en basis for rommet V.

• Basisen for et rom er ikke entydig bestemt, det finnes alltid flere baser.

• Alle baser for et vektorrom har samme antall elementer/vektorer, eller de er uendelige. For eksempel har alle baser for rommet ℝ² to vektorer, ingen mengde med tre elementer eller mengde med ett element er en basis for rommet ℝ².

• Hvis vi har en basis B = {e₁, …, e_n} for rommet V, så gjelder at vi kan uttrykke hver vektor x fra rommet V som en lineærkombinasjon av vektorer fra basisen, altså det finnes reelle koeffisienter a₁, …, a_n slik at

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Samtidig gjelder at disse koeffisientene er entydige. Altså hvis det for koeffisientene b₁, … b_n gjaldt at

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  så må det bety at a₁ = b₁, …, a_n = b_n.