Base di uno spazio vettoriale

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori linearmente indipendenti il cui span lineare è lo spazio V.

Perché si introduce la base di uno spazio vettoriale

Consideriamo uno spazio vettoriale V e un sottoinsieme W ⊂ V tale che lo span lineare ⟨W⟩ di questo insieme sia uguale allo spazio V, cioè ⟨W⟩ = V. Esempio: sia W = {(1; 0), (0; 1), (2; 3)} e V = ℝ².

Evidentemente vale ⟨W⟩ = ℝ². L’insieme W ha soltanto tre vettori, eppure grazie allo span lineare riusciamo a descrivere con esso l’intero insieme infinito di vettori ℝ². Viene naturale chiedersi: possiamo togliere ancora qualche vettore da W e mantenere comunque la proprietà ⟨W⟩ = ℝ²?

Se, per esempio, eliminassimo l’ultimo vettore (2; 3), otterremmo l’insieme W₁ = {(1; 0), (0; 1)}. Lo span lineare di questo insieme è di nuovo ℝ². Viene allora naturale chiedersi: qual è il più piccolo insieme di vettori che ha come span lineare l’insieme ℝ²?

Se da W₁ togliessimo uno qualsiasi dei due vettori rimasti, questo insieme, chiamiamolo W₂, non avrebbe più come span lineare ℝ². Per esempio, lo span lineare dell’insieme W₂ = {(1; 0)} sarebbe l’insieme ⟨W₂⟩ = {(a; 0)  ∣  a ∈ ℝ}. Questo certamente non è uguale a ℝ²: manca, per esempio, il vettore (0; 1).

L’insieme W₁ = {(1; 0), (0; 1)} è quindi un insieme minimale di vettori il cui span lineare è lo spazio ℝ². Ci possono interessare altre domande:

1. Esiste un insieme completamente diverso, formato da un solo elemento, il cui span lineare sia lo spazio ℝ²?
2. Esiste un unico insieme minimo di vettori il cui span lineare sia lo spazio ℝ²?

Come sa bene chi legge la stampa scandalistica, quando un titolo di giornale è una domanda, la risposta è no. E anche qui è così. Non esiste un insieme formato da un solo elemento che abbia come span lineare ℝ². Lo dimostriamo così:

Esiste un insieme di un solo elemento il cui span è ℝ²?

Supponiamo che esista un insieme {x} contenente un solo vettore x, le cui combinazioni lineari formano lo spazio ℝ². Allora devono esistere dei numeri reali a₁, a₂ tali che

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1;0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0;1)\end{array}$$

Perché proprio questi vettori? È praticamente indifferente quali vettori scegliamo, basta che siano linearmente indipendenti.

Poniamo x = (x₁; x₂). Allora certamente x₁, x₂ ≠ 0, perché se fosse x₁ = 0, sarebbe difficile ottenere con una combinazione lineare del vettore x il vettore desiderato (1; 0). Lo stesso vale per x₂. Scriviamo per esteso il sistema precedente:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1;x_2)& =& (1;0)\\ a_2\cdot (x_1;x_2)& =& (0;1)\end{array}$$

Lo scriviamo in forma di equazioni:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Dalla seconda e dalla terza equazione segue che a₁ = a₂ = 0, perché se x₁, x₂ ≠ 0, l’unica possibilità per ottenere zero nei prodotti a₁ · x₂ e a₂ · x₁ è che sia a₁ = a₂ = 0. Questo però è in contraddizione con la prima e la quarta equazione, perché se a₁ = 0, allora a₁ · x₁ = 0, mentre la prima equazione dice che a₁ · x₁ = 1.

Nessun insieme formato da un solo elemento può quindi avere come span lineare lo spazio ℝ².

Esiste il più piccolo insieme di vettori il cui span è ℝ²?

Sappiamo che non esiste un insieme di un solo elemento con questa proprietà e sappiamo che l’insieme W = {(1; 0), (0; 1)} ha come span lineare ℝ². Ci chiediamo allora se questo sia l’unico insieme di due elementi che ha per span ℝ².

Ovviamente no, perché anche un altro insieme di due elementi, W = {(2; 0), (0; 2)}, ha come span ℝ². Qualsiasi coppia di vettori (a; 0), (0; a), con a ∈ ℝ, a ≠ 0, ha come span ℝ². In realtà qualsiasi coppia di vettori linearmente indipendenti ha come span ℝ². Esistono quindi infiniti insiemi di due elementi che con il loro span possono generare ℝ².

Allo stesso tempo, qualsiasi sottoinsieme di tre elementi W₃ ⊆ ℝ² è formato da vettori dipendenti. Perché? Se abbiamo tre vettori (a; b), (c; d), (e; f), possiamo scriverli in una matrice:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Questa matrice ha rango al massimo due, quindi al suo interno deve necessariamente esistere una colonna (cioè un vettore) linearmente dipendente.

Definizione di base di uno spazio vettoriale

Consideriamo uno spazio vettoriale V e sia B ⊆ V. Diciamo che B è una base dello spazio vettoriale V se valgono:

1. ⟨B⟩ = V
2. B è un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Una base è un insieme di vettori indipendenti il cui span è lo spazio V. La base rappresenta quindi un insieme minimale di vettori il cui span è lo spazio V. In particolare, se togliessimo dalla base un elemento, lo span non sarebbe più lo spazio V. Se aggiungessimo un vettore, questo vettore sarebbe una combinazione lineare degli altri vettori.

Se ci muoviamo nello spazio ℝⁿ, l’insieme delle n-uple (1; 0;…;0), (0; 1; 0;…;0), …, (0; 0;…;0; 1) forma una base dello spazio ℝⁿ e questa base si chiama base canonica. Per esempio, per ℝ³ otterremmo la base canonica (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). In questo caso il vettore (a; b; c) si ottiene come combinazione

$$a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0)+c\cdot (0;0;1)$$

Se togliessimo il vettore (0; 1; 0), lo span del nuovo insieme non sarebbe ℝ³. Se aggiungessimo il vettore (14; −2; 5), questo sarebbe una combinazione lineare degli altri vettori con coefficienti a = 14, b = −2, c = 5.

Proprietà fondamentali della base di uno spazio vettoriale

• Ogni spazio vettoriale V ha una base; per lo spazio banale {0} – lo spazio che contiene un solo vettore, quello nullo – è l’insieme vuoto. Ogni insieme linearmente indipendente B₀ ⊆ V è una base dello spazio V oppure si può completare a una base. Se B₀ non è una base, cioè ⟨B₀⟩ ≠ V, allora esiste un vettore x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Questo vettore non è una combinazione dei vettori di B₀. Lo aggiungiamo all’insieme B₀ e otteniamo un nuovo insieme B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Di nuovo possiamo dire che B₁ è una base oppure si può completare a una base. Se lo spazio V ha una base finita, in un numero finito di passi otteniamo un insieme di vettori indipendenti B_n che è una base dello spazio V.

• La base di uno spazio non è determinata in modo univoco: ne esistono sempre più d’una.

• Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi/vettori oppure sono infinite. Per esempio, tutte le basi dello spazio ℝ² hanno due vettori: nessun insieme di tre elementi né di un solo elemento è una base dello spazio ℝ².

• Data una base B = {e₁, …, e_n} dello spazio V, ogni vettore x dello spazio V si può esprimere come combinazione lineare dei vettori della base, cioè esistono dei coefficienti reali a₁, …, a_n tali che

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Inoltre questi coefficienti sono univoci. Cioè, se per dei coefficienti b₁, … b_n valesse che

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  allora deve essere a₁ = b₁, …, a_n = b_n.