Базис на векторно пространство

Базисът на векторно пространство V е множество от линейно независими вектори, чиято линейна обвивка е пространството V.

Мотивация за въвеждането на базис на векторно пространство

Нека имаме някакво векторно пространство V и някакво подмножество W ⊂ V, такова че линейната обвивка ⟨W⟩ на това множество е равна на пространството V, тоест ⟨W⟩ = V. Пример: нека W = {(1; 0), (0; 1), (2; 3)} и V = ℝ².

Очевидно е изпълнено, че ⟨W⟩ = ℝ². Множеството W има само три вектора, но въпреки това с негова помощ, благодарение на линейната обвивка, можем да опишем цялото безкрайно множество от вектори ℝ². Възниква въпросът – можем ли да махнем от множеството W още някои вектори и да запазим свойството ⟨W⟩ = ℝ²?

Ако например изхвърлим последния вектор (2; 3), ще получим множеството W₁ = {(1; 0), (0; 1)}. Линейна обвивка на това множество е отново ℝ². Възниква въпросът – кое е най-малкото множество от вектори, което има за своя линейна обвивка множеството ℝ²?

Ако от W₁ премахнем който и да е от двата останали вектора, това множество, нека го означим с W₂, вече няма да има за своя обвивка множеството ℝ². Например линейната обвивка на множеството W₂ = {(1; 0)} би била множеството ⟨W₂⟩ = {(a; 0) | a ∈ ℝ}. Това със сигурност не е равно на множеството ℝ², липсва там например векторът (0; 1).

Множеството W₁ = {(1; 0), (0; 1)} е следователно минималното множество от вектори, чиято линейна обвивка е пространството ℝ². Могат да ни интересуват и други въпроси:

1. Съществува ли някое съвсем друго едноелементно множество, чиято линейна обвивка да е пространството ℝ²?
2. Съществува ли някое уникално най-малко множество от вектори, чиято линейна обвивка да е пространството ℝ²?

Както всички знаем от жълтата преса, ако заглавието на вестник е във вид на въпрос, отговорът е не и в този случай е същото. Не съществува едноелементно множество, което да има за линейна обвивка ℝ². Доказателството можем да направим така:

Съществува ли едноелементно множество, чиято обвивка е ℝ²?

Допускаме, че съществува множество {x}, съдържащо един вектор x, чиито всички линейни комбинации образуват пространството ℝ². Тогава трябва да съществуват реални числа a₁, a₂, такива че

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1;0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0;1)\end{array}$$

Защо точно тези вектори? Почти няма значение кои вектори ще изберем, важното е да са линейно независими.

Нека означим x = (x₁; x₂). Тогава със сигурност x₁, x₂ ≠ 0, защото ако x₁ = 0, трудно бихме получили с някаква линейна комбинация на вектора x търсения вектор (1; 0). Същото за x₂. Предишната система уравнения само разписваме:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1;x_2)& =& (1;0)\\ a_2\cdot (x_1;x_2)& =& (0;1)\end{array}$$

Това разписваме в уравнения:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

От второто и третото уравнение следва, че a₁ = a₂ = 0, защото ако x₁, x₂ ≠ 0, остава само възможността a₁ = a₂ = 0, за да получим нула в произведенията a₁ · x₂ и a₂ · x₁. Това обаче е в противоречие с първото и четвъртото уравнение, защото ако a₁ = 0, то a₁ · x₁ = 0, а първото уравнение казва, че a₁ · x₁ = 1.

Никое едноелементно множество не може да има за своя линейна обвивка пространството ℝ².

Съществува ли най-малко множество от вектори, чиято обвивка е ℝ²?

Знаем, че не съществува едноелементно множество с това свойство, и знаем, че множеството W = {(1; 0), (0; 1)} има за своя линейна обвивка ℝ². Питаме се дали това множество е единственото двуелементно множество, което има за своя обвивка ℝ²?

Разбира се, че не е, защото и друго двуелементно множество W = {(2; 0), (0; 2)} има обвивка ℝ². Всяка двойка вектори (a; 0), (0; a), a ∈ ℝ, a ≠ 0 има за своя обвивка ℝ². Всъщност всяка двойка линейно независими вектори има за своя обвивка ℝ². Съществуват безброй много двуелементни множества, които със своята обвивка могат да породят ℝ².

Освен това всяко триелементно подмножество W₃ ⊆ ℝ² ще е образувано от зависими вектори. Защо? Ако имаме три вектора (a; b), (c; d), (e; f), можем да ги запишем в матрица:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Тази матрица има ранг най-много две, така че непременно съществува някой линейно зависим стълб/вектор.

Определение на базис на векторно пространство

Нека имаме векторно пространство V. Нека още B ⊆ V. Казваме, че B е базис на векторното пространство V, ако е изпълнено:

1. ⟨B⟩ = V
2. B е линейно независимо множество от вектори.

Базисът е независимо множество от вектори, чиято обвивка е пространството V. Базисът представлява минималното множество от вектори, чиято обвивка е пространството V. Ако от базиса махнем един елемент, обвивката вече няма да е пространството V. Ако добавим един вектор, този вектор ще е линейна комбинация на останалите вектори.

Ако работим в пространството ℝⁿ, множеството от n-торките (1; 0; …; 0), (0; 1; 0; …; 0), …, (0; 0; …; 0; 1) образува базис на пространството ℝⁿ и този базис се нарича стандартен базис. Например за ℝ³ бихме получили стандартния базис (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). При това вектора (a; b; c) бихме получили като комбинацията

$$a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0)+c\cdot (0;0;1)$$

Ако премахнем вектора (0; 1; 0), обвивката на това ново множество нямаше да е ℝ³. Ако добавим вектора (14; −2; 5), този вектор ще е линейна комбинация на останалите вектори с коефициенти a = 14, b = −2, c = 5.

Основни свойства на базиса на векторно пространство

• Всяко линейно пространство V има базис, при тривиалното пространство {0} – пространството, което съдържа единствен, нулев вектор – това е празното множество. Всяко линейно независимо множество B₀ ⊆ V е или базис на пространството V, или може да се допълни до базис. Ако B₀ не е базис, тоест ⟨B₀⟩ ≠ V, съществува вектор x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Този вектор не е комбинация на вектори от B₀. Добавяме го към множеството B₀, получаваме ново множество B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Отново можем да кажем, че B₁ е или базис, или може да се допълни до базис. Ако пространството V има краен базис, то за краен брой стъпки получаваме множество от независими вектори B_n, което ще е базис на пространството V.

• Базисът на пространство не е определен еднозначно, винаги съществуват няколко базиса.

• Всички базиси на векторно пространство имат еднакъв брой елементи/вектори или са безкрайни. Например всички базиси на пространството ℝ² имат два вектора, никое множество от три елемента, нито множество от един елемент не е базис на пространството ℝ².

• Ако имаме базис B = {e₁, …, e_n} на пространството V, то всеки вектор x от пространството V можем да изразим като линейна комбинация на вектори от базиса, тоест съществуват реални коефициенти a₁, …, a_n, такива че

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  При това тези коефициенти са еднозначни. Тоест ако за коефициентите b₁, … b_n е изпълнено, че

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  това трябва да означава, че a₁ = b₁, …, a_n = b_n.