ベンフォードの法則

1881年、アメリカの天文学者サイモン・ニューカムは、対数表について奇妙なことに気づきました。1から始まる数がのっている最初のページが、ほかのページよりずっと手あかで汚れていたのです。しかし、なぜ人々は、8や9から始まる数より、1から始まる数のほうをよく調べるのでしょうか。ニューカムはこれについて短い論文を書きました。だれも気にとめませんでした。

57年がたちました。1938年、ゼネラル・エレクトリック社の物理学者フランク・ベンフォードが、同じことに独自に気づきました。そして、そのままにはしませんでした。20の異なる分野から2万をこえる数を集めたのです。川の流域面積、物理定数、死亡率、新聞記事にのっている数、野球の記録…。たがいにまったく関係のない数です。

数の先頭には、1から9までの9種類の数字がきます（先頭に0はふつうきません）。そこで、どの数字も同じくらいの割合、つまりおよそ11%ずつ先頭にくると予想するでしょう。ところが、そうではありませんでした。ベンフォードがすべてを集計すると、1が先頭にくる数はおよそ30%もありました。数字が大きいほど先頭にくることは少なくなり、9から始まる数は5%足らずでした。この現象を、今日ではベンフォードの法則といいます。ニューカム・ベンフォードの法則と呼ぶこともあります。

なぜ1なのか

人口100人で、毎年人口が10%ずつ増える町を考えてみましょう。毎年の人口は、四捨五入すると100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214…人になります。100人から200人になるには、人口が100%増えなければならず、それには8年かかります。7年後の人口は195人で、8年目にはもう200人をこえます。

200人から300人になるには50%増えれば十分で、800人から900人になるには12.5%増えるだけです。先頭の数字が大きいほど、町はその数字を速く通りすぎます。100人から1,000人になるまでの25年間のうち、人口の先頭が1なのは8年、2なのは4年、3なのは3年で、ほかの数字は1年か2年だけです。9から始まるのは、人口が985人の1年だけで、次の年にはもう1,000人をこえます。25年のうち8年は32%で、最初に述べた30%に近い値です。同じ割合で増えていく数は、先頭が1である期間がいちばん長いのです。

おもしろいことに、単位は関係ありません。川の長さをキロメートルからマイルに直すと、すべての数が変わります。しかし、川の長さがベンフォードの法則にしたがっているなら、マイルで表してもしたがいます。1の割合はほとんど変わりません。

それぞれの数字が先頭にくる割合

ベンフォードの法則によると、数が数字 d から始まる確率は次のようになります。

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

ここで log₁₀ は常用対数です。まず1について、つまり d = 1 を代入してみましょう。

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

かっこの中を計算します。

$$P(1)={\log }_{10}2\fallingdotseq 0.301$$

つまり、およそ30.1%の数が1から始まります。ほかの数字は次のようになります。

合計すると、きちんと100%になります。グラフの破線は $\frac{1}{9}$、つまりどの数字も同じ割合だった場合にそれぞれの数字にあたる割合を示しています。

公式がわかったので、もう一歩進んでみましょう。この法則は、先頭の2けたについても成り立ちます。同じ公式の d に、10から99までの2けたの数を代入すればよいのです。すると、10や11は98や99よりずっと多く先頭にくることがわかります。

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\fallingdotseq 0.041$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\fallingdotseq 0.038$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\fallingdotseq 0.0044$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\fallingdotseq 0.0044$$

数が10から始まるのはおよそ4.1%、11から始まるのは3.8%ですが、98や99から始まるのはおよそ0.44%だけです。そして、たとえば世界の川の長さでも、同じことが成り立ちます。

法則が成り立つとき、成り立たないとき

ベンフォードの法則は、何けたにもわたる（数十から数百万までの）データで、自然な増加や測定によって生まれたものなら、たいてい成り立ちます。ただし、範囲が広くても成り立つとはかぎらないので、「たいてい」なのです。

範囲がかぎられたデータでは成り立ちません。大人の身長は150 cmから200 cmくらいなので、ほとんどいつも1から始まります。人為的な制限のあるデータ、たとえば1,000円単位で上限のあるATMの引き出し額でも成り立ちません。また、電話番号や個人番号のような識別番号やコードには、まったく当てはまりません。これらは個数や測った量ではなく、数字で書いた名前にすぎないからです。

不正の見つけ方

数をでっちあげる人は、どの数字にも同じくらいの見込みを与えがちです。そのため、でっちあげた請求書や帳簿では、先頭が1の数が少なく、大きい数字が多すぎることになります。そこで、会計監査人や税務当局は、どこを調べればよいかの目安として、この法則を使います。フォレンジック会計（不正調査のための会計）では、ふつうに使われる道具です。

ただし、これは不正の証拠ではありません。790円の商品を1つだけ売っている会社なら、1個ずつ買われるときには7から始まる請求書がたくさんできますが、だれも何もごまかしてはいません。ずれは、もっとくわしく調べる価値があることを示しているだけです。

ベルンハルト・ラウフらによる2011年の研究は、EU加盟国が1999〜2009年に財政赤字に関するきまりのためにユーロスタットに報告したマクロ経済データを、ベンフォードの法則と比べました。ユーロ圏の国の中で、法則から最も大きくずれていたのはギリシャのデータでした。ギリシャは当時、財政赤字のデータをゆがめていたことが明らかになった国です。

マフムード・アフマディネジャドが勝った2009年のイラン大統領選挙のあと、統計学者たちが得票数を分析しました。ただし、選挙では先頭の数字は使えません。投票区の大きさが似ているので、得票数が十分なけた数にわたらないからです。そこでウォルター・メバンは、それぞれの投票箱の結果の2けた目の数字をベンフォードの法則で調べ、4人の候補者のうち3人でずれを見つけました。ベルント・ビーバーとアレクサンドラ・スカッコは、州ごとの結果の最後の数字を調べました。これらは均等に、どの数字もおよそ10%ずつになるはずですが、7が17%、5が4%しかありませんでした。メバン自身は、自分の分析は不正を証明するものではなく、その可能性を示すだけだと強調していました。どちらの場合も、不正の証拠にはなりませんでした。

自分のデータ、たとえば銀行口座の明細やレシートの金額で試してみましょう。手もとにデータがなければ、2の累乗を使ってみましょう。最初の1,000個の累乗、つまり 2¹ から 2¹⁰⁰⁰ までのうち、1から始まるものは301個で、ベンフォードの法則が予想するのも301個です。これ以上ぴったり合うことはなさそうです。

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