Закон на Бенфорд

През 1881 г. американският астроном Саймън Нюкомб забеляза нещо странно в таблиците на логаритмите. Първите страници, на които са числата, започващи с единица, бяха много по-износени от следващите. Но защо хората биха търсили числа, започващи с единица, по-често от тези, които започват с осмица или деветка? Нюкомб написа за това кратка статия. Никой не я забеляза.

Изминаха 57 години. През 1938 г. същото независимо забеляза физикът Франк Бенфорд от фирмата General Electric. И не остави нещата така. Събра над 20 000 числа от 20 различни области: площи на водосборни басейни на реки, физични константи, смъртност, числа от вестникарски статии, статистики от бейзбол… Числа, които нямат нищо общо помежду си.

В началото на числото може да стои една от девет различни цифри, от 1 до 9 (нула в началото обикновено няма). Бихме очаквали, че всяка ще бъде първа еднакво често, в около 11% от случаите. Но не беше така. Когато Бенфорд събра всичко, единицата стоеше в началото на около 30% от числата. Колкото по-висока е цифрата, толкова по-рядко беше първа, а с деветка започваха само малко под 5% от числата. Това явление днес се нарича закон на Бенфорд, понякога и закон на Нюкомб–Бенфорд.

Защо точно единицата

Представи си селище със 100 жители, чийто брой всяка година нараства с 10%. След цели години селището ще има закръглено 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… жители. За да стигне от 100 до 200, броят на жителите трябва да нарасне със 100%, а това отнема 8 години. След седем години селището има 195 жители, през осмата година вече над 200.

От 200 до 300 вече стига ръст с 50%, а от 800 до 900 само с 12,5%. Колкото по-висока е първата цифра, толкова по-бързо селището я прескача. По целия път от 100 до 1000 жители, който трае 25 години, броят на жителите започва с единица 8 години, с двойка 4 години, с тройка 3 години, а с останалите цифри само по година или две. С деветка започва само една година, когато селището има 985 жители, а още следващата година те са над хиляда. Осем години от 25 са 32%, близо до споменатите 30%. Числата, които растат с един и същ процент, прекарват най-много време тъкмо с единица в началото.

Интересно е, че мерните единици нямат значение. Ако преобразуваш дължините на реките от километри в мили, всички числа се променят. Но ако дължините на реките спазват закона на Бенфорд, те го спазват и в мили. Делът на единиците приблизително не се променя.

Колко често коя цифра е първа

Вероятността числото да започва с цифрата d според закона на Бенфорд е

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

където log₁₀ е десетичният логаритъм. Нека първо го опитаме за единицата, т.е. заместваме d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Събираме в скобата:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Така около 30,1% от числата започват с единица. Останалите цифри се получават по следния начин:

Заедно това дава точно 100%, както трябва. Пунктираната линия в графиката отбелязва $\frac{1}{9}$, т.е. дела, който би се паднал на всяка цифра, ако всички бяха еднакво чести.

Щом вече имаме формула, можем да отидем крачка по-нататък. Законът важи и за първите две цифри. Достатъчно е в същата формула да заместим за d двуцифрени числа от 10 до 99. Двойките 10 и 11 така стоят в началото много по-често от 98 и 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Числото започва с двойката цифри 10 в около 4,1% от случаите и с 11 в 3,8%, докато с 98 или 99 само в около 0,44%. И същото важи например за дължините на световните реки.

Кога законът важи и кога не

Законът на Бенфорд важи най-често за данни, които обхващат няколко порядъка, т.е. от десетки до милиони, и възникват чрез естествен растеж или измерване. Но и голям обхват не го гарантира, затова казваме „най-често“.

Не важи за данни с ограничен обхват. Ръстът на възрастните хора е между 150 и 200 cm, така че започва почти винаги с единица. Не важи и за данни с изкуствени ограничения, например за сумите на тегленията от банкомат, които са кратни на сто и имат горна граница. И изобщо не се отнася за идентификатори и кодове, като телефонни номера или ЕГН. Те не са нито броеве, нито мерки, а само имена, записани с цифри.

Как с него се хващат измамниците

Който си измисля числа, е склонен да даде на всички цифри приблизително еднакъв шанс. В измислените фактури или счетоводство тогава намираме малко единици в началото и твърде много по-високи цифри. Одиторите и данъчните служби затова използват закона като показател къде да погледнат. В съдебно-счетоводните експертизи това е обичаен инструмент.

Доказателство за измама обаче това не е. Фирма, която продава един продукт за 7,90 €, ще има много фактури, започващи с цифрата 7, когато се купува по една бройка, и въпреки това никой нищо не е фалшифицирал. Отклонението само казва, че си струва да се погледне по-отблизо.

Изследване на Бернхард Раух и колеги от 2011 г. сравни със закона на Бенфорд макроикономическите данни, които държавите от Европейския съюз са съобщавали на Евростат през 1999–2009 г. във връзка с правилата за дефицита. От страните в еврозоната от закона най-много се отклоняват данните на Гърция, т.е. на държавата, за която по онова време се оказа, че е представяла данните за дефицита си изкривено.

След президентските избори в Иран през 2009 г. статистици анализираха броя на гласовете. При изборите първата цифра обаче не е подходяща, защото избирателните секции са с подобна големина и броят на гласовете не обхваща достатъчно порядъци. Затова Уолтър Мийбейн тества по закона на Бенфорд втората цифра на резултатите от отделните избирателни урни и при трима от четирима кандидати намери отклонения. Бернд Бебер и Александра Скако изследваха последните цифри на резултатите в провинциите. Те би трябвало да са разпределени равномерно, всяка в около 10% от случаите, но цифрата 7 беше в 17% от случаите, а цифрата 5 само в 4%. Самият Мийбейн подчертаваше, че анализът му не доказва манипулация, а само подкрепя подозрението за нея. В нито един от двата случая това не беше доказателство за измама.

Опитай сам със собствени данни, например с извлечение от сметка или с цените на касовата бележка. А ако нямаш данни подръка, вземи степените на 2. От първите хиляда степени, т.е. от 2¹ до 2¹⁰⁰⁰, с единица започват 301, а законът на Бенфорд предсказва също 301. По-добре от това едва ли може да съвпадне.

Виж също

• Логаритми
• Основи на статистиката
• Парадокс на рождените дни