計算ツール：重複組合せ

アイスクリーム店に8種類の味があり、3段重ねのアイスを注文するとします。3つとも違う味にしても、チョコレート2つとピスタチオ1つにしても、バニラを3つにしてもかまいません。順番は関係なく、チョコレートがいちばん上にあっても同じアイスです。選び方は何通りあるでしょうか。これを数えるのが重複組合せです。同じ種類を何回選んでもよいとき、n 種類の中から k 個を選ぶ方法が何通りあるかを表します。

同じ種類をくり返して選べないときは、ふつうの組合せなので、組合せの数の計算ツールで求められます。

計算のしくみ

計算ツールは、次の公式で計算します。

$${}_n{\mathrm{H}}_k={}_{n+k-1}{\mathrm{C}}_k$$

8種類の味から3つを選ぶことを、3個の○と、味を区切る7本の仕切り｜を1列に並べることと考えます。1本目の仕切りより前の○はバニラ、1本目と2本目の仕切りの間の○はチョコレート、というように決めます。アイスの選び方1つ1つが、○と｜の並べ方1つ1つに対応します。そのため、全部で10か所のうち、○を置く3か所を選ぶ方法の数を求めればよいことになります。

$${}_8{\mathrm{H}}_3={}_{8+3-1}{\mathrm{C}}_3={}_{10}{\mathrm{C}}_3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

8種類の味から3段重ねのアイスをつくる方法は、120通りです。遠足の飲み物を買う例を使ったくわしい導き方は、重複組合せの記事で説明しています。