計算ツール：同じものを含む順列

MATEMATIKA（チェコ語で「数学」）という単語の文字を並べかえると、何通りの「単語」ができるでしょうか。10文字がすべて異なれば、すべてを並べる順列の総数は 10! 通りです。しかし、この単語には A が3個、M が2個、T も2個あります。2つの A を入れかえても同じ単語のままなので、入れかえただけの同じ並びを何回も数えてはいけません。

計算ツールには、文字（もの）の総数 n と、同じ文字がそれぞれ何個あるかを入力します。1個しかない文字は入力しなくてかまいません。使わない欄は1のままにしておきます。1! = 1 なので、結果は変わりません。

計算のしくみ

そこで、n! を、同じものの個数それぞれの階乗で割ります。

$$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATIKA は10文字です。A が3個、M と T が2個ずつ、E、I、K が1個ずつです。すべての文字が異なれば、並べ方は 10! = 3,628,800 通りです。しかし、3個の A を入れかえる方法は 3! = 6 通りあり、どれも同じ単語になります。2個の M の入れかえは2通り、2個の T の入れかえも2通りです。そこで、次のように割ります。

$$\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{\mathrm{3,628,800}}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{\mathrm{3,628,800}}{24}=\mathrm{151,200}$$

MATEMATIKA の文字からは、151,200通りの異なる単語ができます。ほとんどは意味のない並びですが、MATEMATIKA、KAMATEMATI、TIKAMATEMA もその中に入っています。