Αριθμομηχανή: συνδυασμοί με επαναλήψεις

Στο παγωτατζίδικο υπάρχουν οκτώ γεύσεις παγωτού και θέλεις να πάρεις τρεις μπάλες. Μπορείς να πάρεις τρεις διαφορετικές, δύο σοκολάτα και μία φυστίκι, ή και τρεις βανίλια. Η σειρά δεν μετράει: ένας κώνος με σοκολάτα από πάνω είναι πάλι το ίδιο παγωτό. Πόσες επιλογές υπάρχουν; Αυτό ακριβώς υπολογίζουν οι συνδυασμοί με επαναλήψεις: με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε κ αντικείμενα από ν είδη, όταν τα είδη επιτρέπεται να επαναλαμβάνονται.

Αν τα είδη δεν επιτρέπεται να επαναλαμβάνονται, θα επρόκειτο για απλούς συνδυασμούς και θα αρκούσε η αριθμομηχανή διωνυμικού συντελεστή.

Πώς υπολογίζεται

Η αριθμομηχανή υπολογίζει με τον τύπο

$${{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}_{\nu }^{\kappa }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu +\kappa -1}{\kappa })$$

Τις τρεις μπάλες από τις οκτώ γεύσεις μπορούμε να τις φανταστούμε ως σειρά από τρία αστεράκια και επτά διαχωριστικά. Τα αστεράκια πριν από το πρώτο διαχωριστικό είναι βανίλια, τα αστεράκια ανάμεσα στο πρώτο και στο δεύτερο είναι σοκολάτα, και ούτω καθεξής. Κάθε επιλογή παγωτού αντιστοιχεί σε μία διάταξη, οπότε αρκεί να μετρήσουμε με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από τις δέκα θέσεις για τα αστεράκια:

$${{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}_8^3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8+3-1}{3})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Τρεις μπάλες από οκτώ γεύσεις μπορείς να τις συνδυάσεις με 120 τρόπους. Την αναλυτική παραγωγή με την αγορά μπυρών για την κατασκήνωση θα τη βρεις στο άρθρο Συνδυασμοί με επαναλήψεις.