Kombinacje z powtórzeniami (kalkulator)

W lodziarni jest osiem smaków, a ty chcesz zjeść trzy gałki. Możesz wziąć trzy różne, dwa czekoladowe i jeden pistacjowy, albo po prostu trzy waniliowe. Kolejność nie ma znaczenia, rożek z czekoladą na górze to wciąż ten sam lód. Ile jest możliwości? Dokładnie to liczą kombinacje z powtórzeniami: na ile sposobów można wybrać k elementów z n rodzajów, gdy rodzaje mogą się powtarzać.

Gdyby rodzajów nie można było powtarzać, byłyby to zwykłe kombinacje i wystarczyłby kalkulator symbolu Newtona.

Jak to się liczy

Kalkulator oblicza według wzoru

$${\bar{C}}_n^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$$

Trzy gałki z ośmiu smaków możemy przedstawić jako rząd trzech kółek i siedmiu przegród, które oddzielają smaki. Kółka przed pierwszą przegrodą to wanilia, między pierwszą a drugą czekolada i tak dalej. Każdemu wyborowi lodów odpowiada jedno takie ułożenie, więc wystarczy policzyć, na ile sposobów z dziesięciu miejsc można wybrać trzy na kółka:

$${\bar{C}}_8^3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8+3-1}{3})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Trzy gałki z ośmiu smaków można złożyć na 120 sposobów. Szczegółowe wyprowadzenie z zakupem piwa na wycieczkę znajdziesz w artykule Kombinacje z powtórzeniami.