計算ツール：少なくとも1回起こる確率

電車に無賃乗車をしていて、1回の乗車で車掌の検札にあう確率が5%だとします。1回だけなら、まず見つかりません。しかし、1か月で20回乗ることになります。少なくとも1回つかまる確率はどれくらいでしょうか。パーセントをたすことはできません。たすと、20回で100%、30回では150%にもなってしまいます。そこで、余事象を使います。検札に一度もあわない確率を求めて、それを1から引くのです。

ただし、各回の試行は互いに独立で、確率 p はいつも同じでなければなりません。

必要な試行の回数

問題を逆にすることもできます。何回無賃乗車をすれば、ほぼ確実に、例えば90%の確率で検札につかまるでしょうか。

計算のしくみ

n 回の試行で事象が少なくとも1回起こる確率は、次の式で表されます。

$$P=1-(1-p{)}^n$$

試行の回数を求めるには、$1-(1-p{)}^n\geqq c$ を満たす最小の n を探します。ここで、c は目標の確率です。両辺の対数をとって整理すると、次のようになります。

$$n\geqq \frac{\log (1-c)}{\log (1-p)}$$

試行の回数は整数なので、結果は切り上げます。

1回の乗車で検札にあわない確率は 1 − 0.05 = 0.95 です。各回の乗車は独立なので、20回続けて検札にあわない確率は、確率をかけて求めます。

$${0.95}^{20}\fallingdotseq 0.3585$$

これを1から引きます。

$$P=1-0.3585=0.6415$$

20回乗ると、少なくとも1回検札につかまる確率は約64.15%です。では、90%にするには何回乗ればよいでしょうか。代入します。

$$n\geqq \frac{\log (1-0.9)}{\log (1-0.05)}=\frac{\log 0.1}{\log 0.95}\fallingdotseq 44.89$$

切り上げると45回です。45回乗ると、検札につかまる確率は約90.06%になります。切符を買ったほうが安くつきます。